أعظم مفهوم للتكامل و التفاضل و علاقتهم بالدالة الأصلية

العلاقة بين الدالة والتكامل والتفاضل

لفهم التفاضل والتكامل بعمق، تخيل أن لدينا دالة تمثل **السرعة**.

وسنعتبر أن:

- الدالة الأصلية تمثل السرعة. - تكامل الدالة يمثل المسافة. - مشتقة الدالة تمثل التسارع.

وبذلك نستطيع فهم العلاقة بين المفاهيم الثلاثة بسهولة.

تحليل دالة السرعة

لنفترض أن السيارة تبدأ بسرعة سالبة، أي أنها تتحرك إلى الخلف.

في البداية تزداد السرعة السالبة، أي أن السيارة تسرع في الاتجاه الخلفي، حتى تصل إلى أكبر سرعة سالبة.

بعد ذلك تبدأ السرعة السالبة بالانخفاض تدريجياً، لكن السيارة لا تزال تتحرك إلى الخلف حتى تصل السرعة إلى الصفر، وعندها تتوقف تماماً.

بعد الوقوف تبدأ السيارة بالحركة إلى الأمام، فتكون السرعة موجبة، ثم تزداد حتى تصل إلى أكبر قيمة موجبة، وبعدها تبدأ بالتناقص تدريجياً حتى تعود إلى الصفر وتتوقف مرة أخرى.

ماذا يعني ذلك بالنسبة للمسافة؟

بما أن **المسافة هي تكامل السرعة**، فإن حركة السيارة إلى الخلف تمثل مساحة سالبة تحت منحنى السرعة.

وعندما تبدأ السيارة بالحركة إلى الأمام، تبدأ المساحات الموجبة بالتراكم.

ولأن السيارة قطعت المسافة نفسها إلى الخلف ثم عادت بالمقدار نفسه إلى الأمام، فإن مجموع المساحات السالبة والموجبة يتعادل في النهاية، فتعود إلى نقطة البداية.

كيف يفسر التكامل ذلك؟

طالما كانت السرعة سالبة، فإن التكامل يضيف مساحات سالبة، ولذلك تنخفض قيمة دالة التكامل تدريجياً.

وعندما تصبح السرعة موجبة، تبدأ المساحات الموجبة بإلغاء المساحات السالبة السابقة.

ومع استمرار الحركة إلى الأمام، تستمر المساحات الموجبة في الازدياد حتى تعود القيمة إلى الصفر، لأن السيارة رجعت إلى نقطة الانطلاق.

وهذا يوضح أن التكامل يمثل **تراكم المساحات تحت منحنى الدالة**، سواء كانت هذه المساحات موجبة أو سالبة.

ماذا يمثل التفاضل؟

إذا كانت الدالة الأصلية تمثل السرعة، فإن مشتقتها تمثل **التسارع**.

والتفاضل لا يهتم بقيمة الدالة نفسها، وإنما يهتم فقط **بمعدل تغيرها**.

لماذا لا يؤثر الثابت في الاشتقاق؟

إذا أضفنا عدداً ثابتاً إلى الدالة، فإن شكلها سيرتفع أو ينخفض فقط دون أن يتغير ميلها.

فمثلاً:

- <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="f(x)=\sin x" data-tex="f(x)=\sin x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.765ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5200.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3233.6,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJXG-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJXG-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJXG-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4461.6,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4628.2,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="f(x)=\sin x+1" data-tex="f(x)=\sin x+1" style="display:inline-block;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.662ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6922.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3233.6,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJXG-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJXG-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJXG-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4461.6,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4628.2,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5422.4,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6422.7,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></span> - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="f(x)=\sin x-1" data-tex="f(x)=\sin x-1" style="display:inline-block;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.662ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6922.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3233.6,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJXG-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJXG-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJXG-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4461.6,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4628.2,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5422.4,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6422.7,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></span>

جميع هذه الدوال لها الميل نفسه عند كل نقطة، ولذلك تكون مشتقاتها متطابقة.

ولهذا السبب فإن:

**مشتقة أي عدد ثابت تساوي صفراً.**

متى تكون المشتقة سالبة؟

عندما تكون الدالة في حالة تناقص، يكون معدل التغير سالباً، وبالتالي تكون قيمة المشتقة سالبة.

ولا يهم إن كانت الدالة فوق محور **x** أو تحته، لأن الاشتقاق يهتم باتجاه التغير فقط.

متى تكون المشتقة موجبة؟

عندما تكون الدالة في حالة تزايد، يكون معدل التغير موجباً، ولذلك تكون المشتقة موجبة.

وكلما ازداد ميل الدالة، ازدادت قيمة المشتقة.

المشتقة عند القمم والقيعان

عندما تصل الدالة إلى قمة أو قاع، فإنها تتوقف لحظة عن التزايد أو التناقص قبل أن تغير اتجاهها.

لذلك يكون ميل المماس في تلك اللحظة صفراً.

أي أن:

**المشتقة عند القمم والقيعان تساوي صفراً.**

وبالعكس، إذا وجدنا أن المشتقة تساوي صفراً، فقد تكون تلك النقطة قمة أو قاعاً للدالة، ويحتاج الأمر إلى فحص سلوك الدالة حولها.

العلاقة بين المفاهيم الثلاثة

يمكن تلخيص العلاقة بين الدالة والتكامل والتفاضل كما يلي:

- **الدالة الأصلية:** تمثل الكمية الأساسية، مثل السرعة. - **التكامل:** يمثل تراكم الكمية، مثل المسافة المقطوعة. - **المشتقة:** تمثل معدل تغير الكمية، مثل التسارع.

الخلاصة

التفاضل والتكامل عمليتان متعاكستان ومترابطتان:

- **التكامل** يحسب المساحات المتراكمة تحت منحنى الدالة، ويصف الكميات المتجمعة مع الزمن. - **التفاضل** يقيس معدل تغير الدالة لحظة بلحظة، ويعتمد على ميل المنحنى فقط دون أن يتأثر بإزاحته إلى أعلى أو أسفل. - عند القمم والقيعان تكون المشتقة صفراً، لأن معدل التغير اللحظي يساوي صفراً في تلك النقاط. - وإذا كانت الدالة تمثل السرعة، فإن تكاملها يعطي المسافة، بينما تعطي مشتقتها التسارع.