مقدمة في التفاضل والتكامل

مدخل إلى التفاضل والتكامل — ثلاث نقاط رئيسية

الهدف: فهم المعنى الحقيقي لثلاثة مفاهيم قبل الدخول في المعادلات

الدالة

سلوك محدد

التكامل

المساحة تحت المنحنى

التفاضل

معدل التغير اللحظي

١ الدالة — سلوك محدد

الدالة = وصف رياضي لسلوك يتغير مع الزمن أو المكان

مثال — سيارة بسرعة على شكل موجة جيبية:
— السيارة تبدأ من الوقوف (سرعة = صفر)
— تتسارع بشكل ناعم لين تصل إلى أقصى سرعة (120 كم/س)
— ثم تتباطأ بنفس الطريقة لين تتوقف تماماً
— شكل السرعة: منحنى جيبي

v(t) = 120\sin(t)

الدالة هنا: سلوك السرعة في كل لحظة — كيف تتغير السرعة مع الزمن

٢ التصور — منحنى السرعة والمفاهيم الثلاثة

التكامل: المساحة الملوّنة تحت منحنى السرعة = المسافة المقطوعة

٣ التكامل — المسافة = المساحة تحت المنحنى

\text{المسافة} = \displaystyle\int_0^t v(\tau)\,d\tau = \text{المساحة تحت منحنى السرعة}

— في أي لحظة

t

نقدر نروح لمنحنى السرعة ونحسب المساحة من البداية إلى تلك اللحظة
— هذه المساحة تمثّل بالضبط المسافة التي قطعتها السيارة حتى تلك اللحظة
— كل ما اتسعت المساحة، زادت المسافة المقطوعة

الفكرة العميقة: الدالة

v(t)

تصف السرعة اللحظية — والتكامل يجمع كل هذه السرعات اللحظية معاً ليعطينا المسافة الكلية.

٤ التفاضل — التسارع = معدل تغير السرعة

\text{التسارع} = \dfrac{dv}{dt} = v'(t) = \text{معدل تغير السرعة اللحظي}

— في بداية الرحلة: السرعة تزداد → التسارع موجب
— عند القمة (أقصى سرعة): السرعة لا تتغير → التسارع = صفر
— بعد القمة: السرعة تنقص → التسارع سالب (تباطؤ)

عند القمة: الميل = صفر — الخط المماس أفقي — معدل التغير اللحظي = صفر.
هذا يعني السيارة وصلت أقصى سرعة ولم تزد بعد.

٥ لماذا يوجد الحد في تعريف المشتقة؟

خذ نقطتين على المنحنى — نقطة عند

t

ونقطة أخرى عند

t + h

.
الميل بين النقطتين (الخط القاطع) =

\dfrac{v(t+h) - v(t)}{h}

الآن قرّب النقطتين من بعض — أي قلّل

h

:
— كلما قلّ

h

← اقترب الخط القاطع من خط المماس
— عند

h \to 0

← يصبح الخط مماساً تماماً
— وميل المماس = معدل التغير اللحظي

تحكم في قيمة

h

— المسافة بين النقطتين

h =

1.50 | ميل الخط القاطع = —

تعريف المشتقة باستخدام الحد

f'(t) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(t+h) - f(t)}{h}

h

= المسافة بين النقطتين على محور

t

— كلما اقتربت من الصفر كلما كان المعدل أدق

٦ الخلاصة — المثال يجمع المفاهيم الثلاثة

المفهوم	التعريف العام	في مثال السيارة
الدالة	سلوك محدد يتغير	السرعة $v(t) = 120\sin(t)$
التكامل	المساحة تحت المنحنى	المسافة المقطوعة
التفاضل	معدل التغير اللحظي	التسارع $a(t) = v'(t)$

ما تعلمناه:
— الدالة تصف سلوكاً — التكامل يجمعه — التفاضل يحلله لحظةً بلحظة
— عند القمة: معدل التغير = صفر (ميل المماس أفقي)
— التفاضل يستخدم الحد

h \to 0

لأننا نريد المعدل في لحظة واحدة بالضبط
— التكامل والتفاضل عمليتان عكسيتان لبعض