التكامل والتفاضل لدوال كثيرات الحدود

تكامل وتفاضل كثيرات الحدود

الموضوع: القواعد العملية لحساب التكامل والاشتقاق لكثيرات الحدود

القاعدتان الأساسيتان:

التكامل

\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C

الاشتقاق

\dfrac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}

١ قاعدة التكامل لكثيرات الحدود

القاعدة العامة

\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C

زِد الأس بواحد ← اقسم على الأس الجديد ← أضف ثابت

C

خطوات تطبيق القاعدة:
① انظر للأس الحالي

n

② الأس الجديد =

n + 1

③ اقسم على الأس الجديد
④ أضف ثابت التكامل

+ C

مثال ① — الأس = 1

\displaystyle\int x\,dx

الأس الحالي:

1

الأس الجديد:

1+1 = 2

نقسم على

2

= \dfrac{x^2}{2} + C

مثال ② — الأس = 3

\displaystyle\int x^3\,dx

الأس الحالي:

3

الأس الجديد:

3+1 = 4

نقسم على

4

= \dfrac{x^4}{4} + C

مثال ③ — الأس = 5

\displaystyle\int x^5\,dx

الأس الحالي:

5

الأس الجديد:

5+1 = 6

نقسم على

6

= \dfrac{x^6}{6} + C

مثال ④ — عدد ثابت

\displaystyle\int 3\,dx

3 = 3 \cdot x^0

الأس الجديد:

0+1 = 1

نقسم على

1

= 3x + C

مثال ⑤ — أس كسري

\displaystyle\int x^{\frac{1}{2}}\,dx

الأس الجديد:

\tfrac{1}{2}+1 = \tfrac{3}{2}

نقسم على

\tfrac{3}{2}

(أي نضرب بـ

\tfrac{2}{3}

)

= \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C

تذكّر: أي عدد أس صفر = 1، فـ

x^0 = 1

— هذا هو أساس تكامل الأعداد الثابتة.

٢ قاعدة الاشتقاق لكثيرات الحدود

القاعدة العامة

\dfrac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}

أنزل الأس كمعامل ← انقص الأس بواحد

خطوات تطبيق القاعدة:
① انظر للأس الحالي

n

② ضع

n

كمعامل ضرب أمام

x

③ الأس الجديد =

n - 1

مثال ① — الأس = 2

(x^2)'

الأس الحالي

n = 2

معامل =

2

، أس جديد =

1

= 2x

مثال ② — الأس = 3

(x^3)'

الأس الحالي

n = 3

معامل =

3

، أس جديد =

2

= 3x^2

مثال ③ — الأس = 6

(x^6)'

الأس الحالي

n = 6

معامل =

6

، أس جديد =

5

= 6x^5

مثال ④ — عدد ثابت

(5)'

5 = 5 \cdot x^0

معامل =

0

← يُلغي كل شيء

= 0

لماذا اشتقاق الثابت = صفر؟ لأن الدالة الثابتة لا تتغير مطلقاً — لا صعود ولا نزول — فمعدل تغيرها = صفر.

٣ تصور — اختر دالة وشاهد العمليتين

الدالة الأصلية

f(x)

الاشتقاق

f'(x)

التكامل

F(x)

٤ المقارنة — جدول شامل

الدالة $f(x)$	التكامل $\int f\,dx$	الاشتقاق $f'(x)$
$x$	$\dfrac{x^2}{2} + C$	$1$
$x^2$	$\dfrac{x^3}{3} + C$	$2x$
$x^3$	$\dfrac{x^4}{4} + C$	$3x^2$
$x^5$	$\dfrac{x^6}{6} + C$	$5x^4$
$3$ (ثابت)	$3x + C$	$0$
$x^{\frac{1}{2}}$	$\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$	$\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

الأنماط:
— التكامل: الدرجة ترتفع +1 — الاشتقاق: الدرجة تنخفض −1
— التكامل والاشتقاق عمليتان عكسيتان: يُلغي كل منهما الأخرى

٥ الخلاصة

التكامل

\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C

زِد الأس ← اقسم على الجديد ← أضف

C

الاشتقاق

\dfrac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}

أنزل الأس ← انقص الأس بواحد

ما تعلمناه:
— الاشتقاق أسهل: أنزل الأس كمعامل وانقص الأس بواحد
— التكامل عكسه: زِد الأس بواحد واقسم على الجديد
— اشتقاق الثابت = صفر لأن الدالة الثابتة لا تتغير
— تكامل الثابت =

c \cdot x

لأن

x^0 = 1

والقاعدة تنطبق

تكامل كثيرات الحدود

تكامل كثيرات الحدود يعتمد على قاعدة بسيطة.

إذا كانت لدينا الدالة:

**xⁿ**

فنقوم بالخطوات التالية:

- نزيد الأس بمقدار واحد. - نقسم على الأس الجديد. - نضيف ثابت التكامل **C**.

أي أن:

**∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C**

أمثلة على التكامل

تكامل:

**x**

يساوي:

**x² / 2 + C**

وتكامل:

**x³**

يساوي:

**x⁴ / 4 + C**

وتكامل:

**x⁵**

يساوي:

**x⁶ / 6 + C**

تكامل العدد الثابت

إذا كان لدينا عدد ثابت مثل:

**3**

فيمكن اعتباره:

**3x⁰**

ثم نطبق نفس القاعدة.

فتكامل:

**3**

يساوي:

**3x + C**

وذلك لأن:

**x⁰ = 1**

وأي عدد مرفوع للأس صفر يساوي واحد.

تكامل الأسس الكسرية

إذا كان الأس كسراً، فإن القاعدة لا تتغير.

فمثلاً:

**∫ x¹ᐟ² dx**

نزيد الأس واحداً:

**1/2 + 1 = 3/2**

ثم نقسم على الأس الجديد:

**x³ᐟ² / (3/2) + C**

ويمكن تبسيط الناتج إلى:

**(2/3)x³ᐟ² + C**

اشتقاق كثيرات الحدود

الاشتقاق أسهل من التكامل، ويعتمد على قاعدة واحدة.

إذا كانت لدينا الدالة:

**xⁿ**

فنقوم بما يلي:

- ننقل الأس إلى معامل ضرب. - ننقص قيمة الأس واحداً.

أي أن:

**d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹**

أمثلة على الاشتقاق

اشتقاق:

**x²**

يساوي:

**2x**

واشتقاق:

**x³**

يساوي:

**3x²**

واشتقاق:

**x⁶**

يساوي:

**6x⁵**

اشتقاق العدد الثابت

إذا كان لدينا عدد ثابت مثل:

**5**

فنعتبره:

**5x⁰**

وعند الاشتقاق يصبح الأس صفراً معامل ضرب:

**0 × 5x⁻¹ = 0**

ولذلك فإن:

**مشتقة أي عدد ثابت تساوي صفراً.**

لماذا مشتقة الثابت تساوي صفراً؟

لأن الاشتقاق يمثل **معدل التغير**.

والدالة الثابتة لا تتغير مهما تغيرت قيمة **x**، لذلك يكون معدل تغيرها صفراً.

الخلاصة

لحساب تكامل كثيرات الحدود:

- زد الأس واحداً. - اقسم على الأس الجديد. - أضف ثابت التكامل **C**.

ولحساب مشتقة كثيرات الحدود:

- انقل الأس إلى معامل. - أنقص الأس واحداً.

أما العدد الثابت، فتكامله يساوي العدد مضروباً في **x** مع إضافة **C**، بينما مشتقته تساوي **صفر** لأنه لا يتغير.

ثالث ثانوي الفصل الثاني

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

تكامل كثيرات الحدود تكامل كثيرات الحدود يعتمد على قاعدة بسيطة. إذا كانت لدينا الدالة: **xⁿ** فنقوم بالخطوات التالية: - نزيد الأس بمقدار واحد. - نقسم على… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

مقدمة في التفاضل والتكامل

الثانوية

لماذا يوجد الثابت C في التكامل؟

الثانوية

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

الثانوية

المتجهات وتحديد الاتجاه

الثانوية

المحصلة ومركبات المتجهات

الثانوية

شرح التكامل والتفاضل لدوال كثيرات الحدود | أكاديمية موسى