النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

اختبر فهمك

اختبار: النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

1

ماذا تقول النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل؟

الشرح

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

الموضوع: حساب المساحة تحت المنحنى بين نقطتين باستخدام التكامل المحدود

المفاهيم: النظرية الأساسية، التكامل المحدود، التعويض، سبب اختفاء C

الهدف: تحويل مسألة هندسية (المساحة) إلى عمليات جبرية بسيطة

النظرية الأساسية

لحساب المساحة تحت المنحنى بين A و B — نعوّض فقط

الخطوات:

1. أوجد تكامل

f(x)

ليطلع

F(x)

2. عوّض بـ B ثم اطرح قيمة A

\text{المساحة} = \int_A^B f(x)\,dx = F(B) - F(A)

سر قوة هذه النظرية:
تنقلنا من عالم الهندسة (حساب المساحة) إلى عالم الجبر (تعويض وطرح).
مهما كان شكل المنحنى معقداً — طالما نعرف التكامل فالحساب مجرد تعويض.

! لماذا يختفي الثابت C في التكامل المحدود؟

عند التعويض نحسب

F(B) - F(A)

:

\bigl(F(B) + C\bigr) - \bigl(F(A) + C\bigr) = F(B) - F(A)

الـ C تُلغي الـ C → لهذا لا نكتب C في التكامل المحدود

C تختفي دائماً في التكامل المحدود لأنها تُطرح من نفسها

1 المثال الأول: $f(x) = x$ بين 3 و 7

المساحة تحت خط مستقيم بين نقطتين

الخطوة 1: أوجد التكامل

F(x) = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}

الخطوة 2: عوّض بـ 7 ثم اطرح قيمة 3

F(7) - F(3) = \frac{7^2}{2} - \frac{3^2}{2} = \frac{49}{2} - \frac{9}{2} = \frac{40}{2} = 20

المساحة = 20

2 المثال الثاني: $f(x) = x^3$ بين 1 و 3

المساحة تحت منحنى مكعّب بين نقطتين

الخطوة 1: أوجد التكامل

F(x) = \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}

الخطوة 2: عوّض بـ 3 ثم اطرح قيمة 1

F(3) - F(1) = \frac{3^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20

المساحة = 20

مهما كان شكل المنحنى — التكامل + التعويض يعطيك المساحة بدقة

ملخص المثالين

الدالة	النطاق	$F(x)$	$F(B)-F(A)$	المساحة
$x$	3 إلى 7	$\dfrac{x^2}{2}$	$\dfrac{49}{2} - \dfrac{9}{2}$	20
$x^3$	1 إلى 3	$\dfrac{x^4}{4}$	$\dfrac{81}{4} - \dfrac{1}{4}$	20

الخلاصة

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل:

\int_A^B f(x)\,dx = F(B) - F(A)

1. أوجد

F(x)

(تكامل

f(x)

)
2. عوّض بـ B ثم اطرح قيمة A
3. C تختفي تلقائياً عند الطرح

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا

👨‍💻

ثالث ثانوي الفصل الثاني

جاري تحميل التعليقات...