الأس الكسري

الأس الكسري هو أس يحتوي على بسط ومقام، وهو طريقة أخرى للتعبير عن الجذور.

سنتعلم التعامل مع الأس الكسري من خلال حالتين رئيسيتين حسب قيمة البسط.

1. الحالة الأولى: البسط = 1

عندما يكون البسط = 1: نتعامل مع الجذور مباشرة

القاعدة الأساسية

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

أمثلة توضيحية:

المثال الأول: $4^{\frac{1}{2}}$

$4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$

ملاحظة: الجذر التربيعي $\sqrt{4}$ يُكتب بدون رقم 2 لأنه متعارف عليه.

المثال الثاني: $8^{\frac{1}{3}}$

$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$

التفسير: أي عدد نضربه بنفسه 3 مرات ويعطي 8؟ الجواب: $2 \times 2 \times 2 = 8$

المثال الثالث: $16^{\frac{1}{4}}$

$16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2$

التفسير: أي عدد نضربه بنفسه 4 مرات ويعطي 16؟ الجواب: $2^4 = 16$

القاعدة: المقام في الأس الكسري يحدد نوع الجذر (تربيعي، تكعيبي، رباعي، إلخ)

2. الحالة الثانية: البسط ≠ 1

عندما يكون البسط ≠ 1: نطبق خطوتين - الجذر ثم الأس

القاعدة العامة

$a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$

الطريقة: نحسب الجذر أولاً، ثم نرفعه للقوة الموجودة في البسط

أمثلة تطبيقية:

المثال الأول: $4^{\frac{3}{2}}$

الخطوة 1: احسب $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$

الخطوة 2: ارفع الناتج للقوة 3: $2^3 = 8$

إذن: $4^{\frac{3}{2}} = 8$

المثال الثاني: $8^{\frac{2}{3}}$

الخطوة 1: احسب $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$

الخطوة 2: ارفع الناتج للقوة 2: $2^2 = 4$

إذن: $8^{\frac{2}{3}} = 4$

طريقة بديلة: $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$

المثال الثالث: $16^{\frac{5}{4}}$

الخطوة 1: احسب $16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2$

الخطوة 2: ارفع الناتج للقوة 5: $2^5 = 32$

إذن: $16^{\frac{5}{4}} = 32$

3. ملخص القواعد

الحالة الأولى: البسط = 1

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

تحويل مباشر للجذر
المقام يحدد نوع الجذر
أسهل في الحل

الحالة الثانية: البسط ≠ 1

$a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$

خطوتان: جذر ثم أس
المقام للجذر، البسط للأس
يحتاج حسابات أكثر

4. خطوات الحل العامة

الطريقة المنهجية:

الخطوة 1: تحديد البسط والمقام في الأس الكسري

الخطوة 2: حساب الجذر باستخدام المقام $\sqrt[n]{a}$

الخطوة 3: رفع الناتج لقوة البسط (إذا كان البسط ≠ 1)

الخطوة 4: كتابة النتيجة النهائية

5. أمثلة إضافية للتدريب

أمثلة البسط = 1:
$9^{\frac{1}{2}} = 3$
$27^{\frac{1}{3}} = 3$
$32^{\frac{1}{5}} = 2$

أمثلة البسط ≠ 1:
$9^{\frac{3}{2}} = 3^3 = 27$
$27^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9$
$32^{\frac{3}{5}} = 2^3 = 8$

الأس الكسري طريقة أنيقة للتعبير عن الجذور والقوى معاً بكل بساطة! 🌟

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا

👨‍💻

الدرس السابق

4

جاري تحميل التعليقات...