لماذا يوجد الثابت C في التكامل؟

لماذا يوجد الثابت C في التكامل؟

الموضوع: فهم السبب العميق لوجود ثابت التكامل C في كل معادلة تكامل غير محدد

المفتاح: مشتقة أي عدد ثابت = صفر — لذا التكامل العكسي لا يستطيع استرداد الثابت الأصلي

النتيجة: \displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C دائماً

١ الدوال الثابتة ومشتقتها

الدوال الثابتة مثل y = 1 أو y = 2 أو y = 5 — رسمها عبارة عن خطوط أفقية مستقيمة.
الخط الأفقي لا يصعد ولا ينزل — لا يوجد أي تغيير.
والتفاضل هو معدل التغير — فإذا كان التغير = صفر، فالمشتقة = صفر.
دالة ثابتة
y = 2
خط أفقي عند y=2
y' = 0
دالة ثابتة
y = 5
خط أفقي عند y=5
y' = 0
دالة ثابتة
y = 7
خط أفقي عند y=7
y' = 0
دالة ثابتة
y = k
أي عدد ثابت
y' = 0
القاعدة: مشتقة أي عدد ثابت = 0   \dfrac{d}{dx}(k) = 0

٢ العكس — ما هو تكامل الصفر؟

التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق.
لو سألنا: ما الدالة التي مشتقتها = 0؟
الجواب: أي دالة ثابتة! — لأن 2' = 0 و 5' = 0 و 7' = 0 وكلها صحيحة.
من أي دالة نأتي إذا اشتققنا وحصلنا على 0؟
y = 2
\xrightarrow{d/dx}\ 0
y = 5
\xrightarrow{d/dx}\ 0
y = 7
\xrightarrow{d/dx}\ 0
y = 100
\xrightarrow{d/dx}\ 0
y = C
كلها صحيحة!
لذا نكتب:
\displaystyle\int 0\,dx = C
حيث C يمثل أي عدد ثابت — لا نستطيع تحديده بدون معلومة إضافية

٣ لماذا يظهر C في كل تكامل؟ — مثال f(x) = x

لنأخذ f(x) = x ونكتبها بطريقة مختلفة:
f(x) = x + 0
أي: الدالة تتكون من جزأين — جزء x وجزء 0
نطبّق التكامل على الجزأين:
\displaystyle\int x\,dx = \int (x + 0)\,dx
تكامل الجزء الأول
\displaystyle\int x\,dx = \dfrac{x^2}{2}
+
تكامل الجزء الثاني
\displaystyle\int 0\,dx = C
\displaystyle\int x\,dx = \dfrac{x^2}{2} + C
الاستنتاج: C يظهر لأن تكامل الصفر = C — وكل دالة يمكن كتابتها مع +0 في آخرها. هذا هو السبب الحقيقي لوجود C في كل معادلة تكامل غير محدد.

٤ تصور — عائلة الدوال التي تكاملها \dfrac{x^2}{2} + C

كل هذه الدوال مشتقتها = x — لأن الفرق الوحيد بينها هو ثابت، والثابت مشتقته صفر. التكامل يجمعهم كلهم في معادلة واحدة: \dfrac{x^2}{2} + C
C = 0 : \frac{x^2}{2} C = 2 : \frac{x^2}{2}+2 C = -2 : \frac{x^2}{2}-2 C = 4 : \frac{x^2}{2}+4

٥ الخلاصة

١ الدالة الثابتة خط أفقي → لا تغير → \dfrac{d}{dx}(k) = 0
↓
٢ التكامل عكس الاشتقاق → من أين جاء 0؟ من أي ثابت!
↓
٣ \displaystyle\int 0\,dx = C — لأن كل الثوابت مشتقتها صفر
↓
٤ لذا كل تكامل غير محدد ينتهي بـ + C
ما تعلمناه:
— اشتقاق أي ثابت = صفر لأن الدوال الثابتة لا تتغير
— التكامل عكس الاشتقاق → تكامل الصفر = أي ثابت = C
— C في التكامل يُمثّل الثابت المجهول الذي ضاع عند الاشتقاق
— بدون شرط إضافي (مثل قيمة الدالة عند نقطة) لا نستطيع تحديد C
الدرس السابق
175
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثاني
جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

مشتقة الدالة الثابتة إذا اتفقنا أن التفاضل يمثل معدل التغير، فإن الدوال الثابتة لا يحدث فيها أي تغير مع تغير قيمة x. فالدوال مثل: - y = 1 - y = 2 - y = 5… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

المتجهات وتحديد الاتجاه

الثانوية

المحصلة ومركبات المتجهات

الثانوية

المتجهات في المستوى الإحداثي

الثانوية

الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات

الثانوية

حساب الضرب الداخلي والزاوية بين متجهين

الثانوية