نظرية ديموافر

الموضوع: نظرية ديموافر لرفع الأعداد المركبة إلى قوة

المفاهيم: الصورة القطبية للأعداد المركبة، ضرب الأعداد المركبة، رفع العدد المركب لقوة n

الهدف: فهم نظرية ديموافر كتطبيق مباشر لعملية ضرب الأعداد المركبة

المقدمة

نظرية ديموافر هي نتيجة مباشرة لعملية ضرب الأعداد المركبة

نظرية ديموافر هي نتيجة مباشرة لعملية ضرب الأعداد المركبة التي أخذناها في الدرس السابق. إذا كنت تعرف كيف تقوم بضرب الأعداد المركبة، ستكون نظرية ديموافر سهلة جدا وهي تطبيق مباشر لعملية ضرب الأعداد المركبة.

أولاً: الصورة القطبية للأعداد المركبة
العدد المركب نرمز له بـ z ونقول:

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

ثانياً: عملية الضرب
نضرب الـ r في الـ r، وبعدين نجمع الزوايا.

ملاحظة مهمة:
• نظرية ديموافر تطبيق مباشر لتكرار عملية الضرب
• تستخدم لرفع الأعداد المركبة إلى أي قوة

نظرية ديموافر تجعل رفع الأعداد المركبة إلى قوة عملية بسيطة ومباشرة

1 مراجعة: ضرب الأعداد المركبة

نضرب الـ r في الـ r ونجمع الزوايا

قاعدة ضرب الأعداد المركبة

لو عندنا عددين مركبين z₁ و z₂ نريد أن نضربهم في بعض:

z_1 \times z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]

الخطوات:
• الخطوة 1: نضرب الـ r في الـ r
• الخطوة 2: نجمع الزاويتين
• الخطوة 3: نكتب النتيجة بالصورة القطبية

مثال (1): ضرب عددين مركبين

المعطى:

z_1 = 2(\cos 30° + i\sin 30°)

z_2 = 5(\cos 40° + i\sin 40°)

المطلوب: أوجد

z_1 \times z_2

الحل:

الخطوة 1: نضرب الثنين في الخمسة (الـ r في الـ r)

r_1 \times r_2 = 2 \times 5 = 10

الخطوة 2: نجمع الزاويتين

\theta_1 + \theta_2 = 30° + 40° = 70°

الخطوة 3: نكتب النتيجة النهائية

z_1 \times z_2 = 10(\cos 70° + i\sin 70°)

النتيجة النهائية: $10(\cos 70° + i\sin 70°)$

عملية ضرب الأعداد المركبة: نضرب الـ r ونجمع الزوايا

2 اشتقاق نظرية ديموافر

ضرب العدد المركب في نفسه عدة مرات يعطينا نظرية ديموافر

ضرب العدد في نفسه (التربيع)

خلونا نفرض أن العدد نبغى نضربه في نفسه، يعني عندنا العدد المركب z₁ ونريد أن نطلع z₁²:

نضرب الـ r في الـ r (يعطينا r²)، ونجمع الزاوية مع نفسها (θ + θ = 2θ):

z^2 = r^2(\cos 2\theta + i\sin 2\theta)

نفس الطريقة لو نرفع العدد المركب للقوة الثالثة:

z^3 = r^3(\cos 3\theta + i\sin 3\theta)

التعميم: نظرية ديموافر

عممنا الموضوع هذا وقلنا:

z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)

حيث:
•

n

= أي عدد صحيح موجب
•

r^n

= نرفع الـ r للقوة n
•

n\theta

= نضرب الزاوية في n

نظرية ديموافر: نرفع r للقوة n ونضرب الزاوية في n

3 مثال تطبيقي شامل

تطبيق نظرية ديموافر لحساب قوة عدد مركب

مثال كامل: رفع عدد مركب للقوة السادسة

المعطى:

\left[8\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)\right]^6

المطلوب: أوجد قيمة العدد المركب مرفوعاً للقوة السادسة

الخطوة 1: تطبيق نظرية ديموافر
نرفع الـ r (وهو 8) للقوة السادسة، ونضرب الزاوية (π/3) في 6:

= 8^6\left[\cos\left(6 \times \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(6 \times \frac{\pi}{3}\right)\right]

الخطوة 2: حساب القيم
نحسب 8⁶ ونبسط الزاوية:

8^6 = 262144

6 \times \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi

الخطوة 3: التعويض
نعوض القيم في المعادلة:

= 262144(\cos 2\pi + i\sin 2\pi)

الخطوة 4: استخدام الدوال المثلثية
نعرف أن:

\cos 2\pi = 1

\sin 2\pi = 0

الخطوة 5: التبسيط النهائي
نعوض ونبسط:

= 262144(1 + i \times 0)

= 262144 \times 1

النتيجة النهائية: 262144

لاحظ: الناتج عدد حقيقي فقط (بدون جزء تخيلي) لأن sin 2π = 0 ألغى الجزء التخيلي

نظرية ديموافر تسهل حساب أي قوة لعدد مركب بطريقة مباشرة

الملخص النهائي

ضرب الأعداد المركبة

z_1 \times z_2

↓

نضرب r₁ × r₂

↓
نجمع θ₁ + θ₂

نظرية ديموافر

z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)

↓

نرفع r للقوة n

↓
نضرب الزاوية في n

التطبيق

[8(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})]^6

↓

262144(\cos 2\pi + i\sin 2\pi)

↓
262144

ما هي نظرية ديموافر؟

نظرية ديموافر (De Moivre's Theorem) هي نتيجة مباشرة لقانون ضرب الأعداد المركبة في الصورة القطبية.

فإذا كنت تعرف كيف تضرب الأعداد المركبة بالصورة القطبية، فإن نظرية ديموافر ستكون تطبيقاً مباشراً لهذه العملية.

الصورة القطبية للعدد المركب

قبل استخدام نظرية ديموافر، يجب أن نتذكر الصورة القطبية للعدد المركب، وهي:

**Z = r (cosθ + i sinθ)**

حيث:

- **r** تمثل مقدار العدد المركب. - **θ** تمثل الزاوية. - **i** هي الوحدة التخيلية.

مراجعة ضرب الأعداد المركبة

إذا كان لدينا عددان مركبان:

**Z₁ = r₁(cosθ₁ + i sinθ₁)**

**Z₂ = r₂(cosθ₂ + i sinθ₂)**

فإن حاصل ضربهما يكون:

- نضرب المقدارين **r₁ × r₂**. - نجمع الزاويتين **θ₁ + θ₂**.

أي يصبح الناتج:

**Z₁Z₂ = r₁r₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)]**

كيف تظهر نظرية ديموافر؟

إذا ضربنا العدد المركب في نفسه أكثر من مرة، فإن:

- المقدار **r** يتكرر في الضرب، فيصبح **rⁿ**. - الزاوية **θ** تتكرر في الجمع، فتصبح **nθ**.

ومن هنا نحصل على نظرية ديموافر:

**Zⁿ = rⁿ (cos(nθ) + i sin(nθ))**

وهذه هي الصيغة العامة للنظرية.

مثال

إذا كان لدينا:

**Z = 8(cos(π/3) + i sin(π/3))**

والمطلوب إيجاد:

**Z⁶**

فنطبق نظرية ديموافر مباشرة:

**Z⁶ = 8⁶ [cos(6π/3) + i sin(6π/3)]**

نبسط الزاوية:

**6π/3 = 2π**

فتصبح:

**Z⁶ = 8⁶ [cos(2π) + i sin(2π)]**

تبسيط الناتج

نعلم من الدوال المثلثية أن:

**cos(2π) = 1**

**sin(2π) = 0**

لذلك يختفي الجزء التخيلي، ويصبح الناتج:

**Z⁶ = 8⁶**

وبحساب القوة:

**8⁶ = 262144**

إذن الناتج النهائي هو:

**262144**

وهو عدد حقيقي بالكامل، ولا يحتوي على أي جزء تخيلي.

الخلاصة

نظرية ديموافر هي تعميم لعملية ضرب الأعداد المركبة في الصورة القطبية.

فعند رفع عدد مركب إلى قوة **n**:

- نرفع المقدار **r** إلى القوة **n**. - نضرب الزاوية **θ** في **n**.

أي:

**Zⁿ = rⁿ (cos(nθ) + i sin(nθ))**

وتعد هذه النظرية من أهم الأدوات في الأعداد المركبة، لأنها تسهّل إيجاد القوى والجذور للأعداد المركبة بطريقة مباشرة.

ثالث ثانوي الفصل الثاني

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

ما هي نظرية ديموافر؟ نظرية ديموافر (De Moivre's Theorem) هي نتيجة مباشرة لقانون ضرب الأعداد المركبة في الصورة القطبية. فإذا كنت تعرف كيف تضرب الأعداد… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.

نظرية ديموافر