مفهوم التفاضل مقابل التكامل

مفهوم التكامل والتفاضل

في هذا الدرس سنتعرف على المفهوم الأساسي لكل من **التفاضل** و**التكامل**، وهما من أهم فروع الرياضيات ويشكلان الأساس لدراسة الحركة والفيزياء والهندسة والعلوم التطبيقية.

يمكن تلخيص الفكرة بأن **التفاضل** يدرس معدل التغير، بينما **التكامل** يحسب المساحة تحت المنحنى. ورغم أن المفهومين يبدوان مختلفين، إلا أن بينهما علاقة عكسية تعرف باسم **النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل**.

ما هو التفاضل؟

التفاضل هو دراسة **معدل تغير الدالة** عند نقطة معينة.

فهو يخبرنا بسرعة تغير قيمة الدالة، أو ميل المنحنى، أو مقدار الزيادة أو النقصان عند كل نقطة.

ويستخدم التفاضل في حساب السرعة، والتسارع، ومعدلات النمو، وإيجاد القيم العظمى والصغرى، وغيرها من التطبيقات الهندسية والعلمية.

ما هو التكامل؟

التكامل هو حساب **المساحة الواقعة تحت منحنى الدالة**.

ويمكن النظر إلى التكامل على أنه عملية جمع لمساحات صغيرة جدًا تحت المنحنى حتى نحصل على المساحة الكلية.

ويستخدم التكامل في حساب المساحات، والحجوم، والمسافات، وكميات كثيرة في الفيزياء والهندسة.

مثال على الدالة الثابتة

لنفترض أن لدينا الدالة:

<span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y=5" data-tex="y=5" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.257ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2323.6 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g></g></g></svg></span>

وهي دالة ثابتة تمثل خطًا أفقيًا.

### التفاضل للدالة الثابتة

بما أن قيمة الدالة لا تتغير عند أي نقطة، فإن معدل التغير يساوي صفر.

لذلك يكون مشتق أي عدد ثابت مساويًا للصفر.

التكامل للدالة الثابتة

إذا حسبنا المساحة تحت الخط المستقيم، نجد أنها تزداد بصورة منتظمة كلما تحركنا على محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>.

فعند:

- <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x=1" data-tex="x=1" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></span> تكون المساحة 5. - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x=2" data-tex="x=2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span> تصبح المساحة 10. - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x=3" data-tex="x=3" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.69ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2405.6 747" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></span> تصبح المساحة 15.

لذلك تكون دالة التكامل:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="5x" data-tex="5x" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.425ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1072 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></div>

ومن هنا نستنتج أن تكامل العدد الثابت يساوي:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="5x+C" data-tex="5x+C" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.911ex" height="1.781ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 3054.4 787" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1294.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2294.4,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></div>

حيث يمثل **C** ثابت التكامل.

العلاقة بين التكامل والتفاضل

إذا اعتبرنا الآن أن:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=5x" data-tex="y=5x" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.551ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2895.6 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2323.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></div>

هي الدالة الأصلية، ثم حسبنا معدل تغيرها، نجد أن ميل الخط المستقيم ثابت ويساوي:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="5" data-tex="5" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g></g></g></svg></div>

أي أن:

- تكامل العدد 5 يعطينا <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="5x" data-tex="5x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.425ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1072 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>. - ومشتقة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="5x" data-tex="5x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.425ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1072 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> تعيدنا مرة أخرى إلى العدد 5.

وهذا يوضح أن التكامل والتفاضل عمليتان عكسيتان لبعضهما.

مثال على تكامل الدالة الخطية

إذا كانت الدالة:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=5x" data-tex="y=5x" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.551ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2895.6 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2323.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></div>

فإن المساحة تحت المنحنى تكون عبارة عن مثلث.

فعند:

- <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x=1" data-tex="x=1" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></span> تكون مساحة المثلث 2.5. - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x=2" data-tex="x=2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span> تصبح المساحة 10.

ومع زيادة قيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>، تزداد المساحة بصورة غير خطية، لذلك يكون منحنى التكامل عبارة عن قطع مكافئ.

معادلة تكامل الدالة الخطية

عند تكامل الدالة:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="5x" data-tex="5x" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.425ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1072 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></div>

نحصل على:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="2.5x^2+C" data-tex="2.5x^2+C" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.658ex" height="2.185ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 4269 965.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use><use data-c="2E" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2E" transform="translate(500,0)"></use><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35" transform="translate(778,0)"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1278,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,413) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2508.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3509,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></div>

وهذا يبين أن تكامل الدالة الخطية ينتج دالة تربيعية.

اتجاه التكامل

من النقاط المهمة في التكامل أن **اتجاه التكامل يؤثر على إشارة الناتج**.

فعند حساب التكامل من اليسار إلى اليمين تكون المساحة الموجبة موجبة كما هي.

أما إذا كان التكامل من اليمين إلى اليسار، فإن الناتج ينعكس في الإشارة، لأن ترتيب حدود التكامل يؤثر على القيمة النهائية.

العلاقة الأساسية بين التفاضل والتكامل

يمكن تلخيص العلاقة بين العمليتين بالشكل التالي:

- التفاضل يحسب معدل تغير الدالة. - التكامل يحسب المساحة تحت منحنى الدالة. - التكامل يعكس عملية التفاضل. - التفاضل يعكس عملية التكامل.

ولهذا السبب يسمى التفاضل والتكامل فرعين مترابطين، ويعتمد كل منهما على الآخر في كثير من التطبيقات الرياضية والهندسية.

ملخص الدرس

- التفاضل هو معدل تغير الدالة أو ميل المنحنى. - التكامل هو حساب المساحة تحت منحنى الدالة. - مشتقة الدالة الثابتة تساوي صفر. - تكامل العدد الثابت يساوي العدد مضروبًا في <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> مع إضافة ثابت التكامل. - مشتقة الدالة الخطية تعيد العدد الثابت الذي يمثل ميلها. - تكامل الدالة الخطية ينتج دالة تربيعية. - اتجاه التكامل يؤثر على إشارة الناتج. - التكامل والتفاضل عمليتان عكسيتان، وتربط بينهما النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل.