الدالة الأسية: تعريفها وشروط الأساس وشكل منحناها

في هذا الدرس راح نتكلم عن الدالة الأسية. والدالة الأسية من اسمها: المتغير x موجود في الأس وليس في الأساس. لو رجعنا للدوال السابقة اللي تكلمنا عنها، x و x² و x³، دائمًا المتغير x في الأساس. ولكن عندنا في الدالة الأسية المتغير ينتقل إلى الأس.

شروط الأساس

أما بالنسبة للأساس في الدالة الأسية فله شروط وأحكام. فخلونا نبدأ في الحالات الخاطئة.

لو حطينا الأساس 0، فأي أس بالنسبة للصفر راح يطلع الناتج معانا 0، فما راح يطلع معانا أي منحنى وأي دالة. فكذا نستثني الصفر ونروح إلى الواحد.

لو حطينا الواحد في الأساس، فمهما رفعنا لأي أس النتيجة واحد، فأيضًا ما راح يطلع معانا أي دالة. فأيضًا نستثني الواحد من الأساس.

باقي لما نحط قيم سالبة. فلما نحط قيم سالبة ويصير عندنا x تساوي نص، فراح نحط قيم سالبة أس نص، يعني الجذر التربيعي للقيم السالبة، وراح يطلع معانا أعداد تخيلية. فنستثني هذا الموضوع في عالم الأعداد الحقيقية.

فالآن الأساس ما يقبل أن يكون 0 ولا 1 ولا أعداد سالبة. إيش باقي عندنا؟ الحالات الصحيحة هي الأعداد الموجبة، سواء ما بين الصفر والواحد أو أعلى من الواحد.

الحالتان الوحيدتان

وهذه عندنا الحالتين الوحيدتين للدوال الأسية: يا إما الأساس أعلى من الواحد، أو ما بين الصفر والواحد. وكل حالة راح تعطينا رسمة مختلفة لمنحنى الدالة.

ليش تعطينا حالتين مختلفتين؟ لأن العدد إذا كان أعلى من الواحد ورفعناه لأس، فدائمًا يتزايد بشكل كبير جدًا. أما إذا كان ما بين الصفر والواحد، يعني كسر ما بين الصفر والواحد زي ربع أو نص، فكلما ضربناه بنفسه أكثر كلما صار أصغر وأصغر.

فعشان كذا إذا كان الأساس أكبر من الواحد، فرسمة الدالة راح تكون كذا على اليمين متزايدة بشكل إكسبونانشل، نسميه نمو أسي. أما إذا كان الأساس ما بين الصفر والواحد، فراح تكون كذا متناقصة إلى الصفر، أو نسميها دالة الاضمحلال.

عند x = 0

باقي نعرف إيش يصير للدالة عند الصفر، لما x تساوي صفر، ولما x تكون سالبة.

إذا كان الأس صفر، يعني إحنا عند x تساوي صفر، يعني عند تقاطعنا مع محور y. فأي عدد أس صفر يساوي واحد. فمعناتها أن الدالة الأسية دائمًا تقطع محور y عند الرقم واحد، سواء كان أساسها ما بين الصفر والواحد أو كان أعلى من الواحد.

الجهة السالبة

أما بالنسبة للجهة السالبة فدائمًا هي عكس الموجبة، لأن الأس إذا كان سالب ينعكس ويصير في المقام.

فإذا كان الأساس أعلى من الواحد، ففي الجهة اليمين شفنا كيف إنه يتضاعف. أما في الجهة اليسار فالعدد في المقام هو اللي يزداد، وإحنا نقسم واحد على هذا العدد. لاحظ أن العدد في المقام يزداد بشكل لا نهائي، يعني القيمة تقترب إلى الصفر في الجهة اليسار.

وعكس الكلام هذا يحصل إذا كان الأساس ما بين الصفر والواحد. فشفنا لما تكون قيم x عالية جدًا فالمنحنى يضمحل ويقترب إلى الصفر. فعكس الكلام هذا يحصل في الجهة السالبة: فإحنا في الجهة السالبة نقسم على هذا العدد اللي قاعد يصغر ويقترب من الصفر، وهذا اللي يخلي الدالة تزداد إلى ما لا نهاية في الجهة اليسار إذا كان الأساس ما بين الصفر والواحد.