متى تكون العلاقة دالة: شرط الدالة مع أمثلة محلولة

العلاقة في المخطط السهمي

لما مثلنا علاقة في المخطط السهمي قلنا أن عندنا هنا على اليمين المجال، وعلى اليسار المدى. فنبدأ من المجال ونوصل في المدى، والاتجاه مهم.

فنقول مثلاً عند الساعة ١٠ الصباح كانت القراءة ٢٠ درجة مئوية. فنختار قيمة في المجال ونربطها بقراءتها اللي تكون في المدى، وعرّفنا هذه بأنها علاقة.

شرط الدالة

ولكن في نوع خاص من العلاقات اسمه دالة. وعشان العلاقة تصير دالة في شرط مهم جداً: إن كل قراءة في المجال يقابلها قراءة واحدة فقط في المدى.

يعني إذا في قراءة في المجال عطتني قراءتين في المدى فهذه ليست دالة. يعني لو قلت لك: عند الساعة ٦ الصباح كم درجة الحرارة؟ وعطيتني قراءتين: ٢٥ و ٣٥، فهذه ليست دالة لأنها غير منطقية.

قراءتان في المجال لهما القراءة نفسها

أما لو قراءتين في المجال يقابلها نفس القراءة في المدى فهذا عادي. يعني لو قلت لك درجة الحرارة الساعة ٦ مثلاً ٢٠ درجة مئوية، والساعة ١٠ أيضاً ما زالت ٢٠ درجة مئوية، فهذا مقبول.

فهذا هو اللبس اللي لازم ننتبه له: قراءة واحدة في المجال يقابلها قراءة واحدة فقط في المدى.

الشرط في المخطط السهمي

لما ننظر لها من ناحية المخطط السهمي نبدأ في المجال: يعني ما يطلع سهمين من نفس العنصر في المجال، بس عادي سهمين يلتقون في نفس العنصر في المدى.

فهنا نلاحظ إن عندنا سهمين من نفس العنصر في المجال رايحين لقراءتين مختلفتين، فهذه ليست دالة. بينما هنا عندنا سهمين من عنصرين في المجال ويلتقون في نفس العنصر في المدى، فهذه تعتبر دالة.

العلاقة في جدول

ولما نمثل العلاقة في جدول نضع المجال وعناصره هنا، وتحت المدى وعناصره هنا. فنلاحظ مثلاً المجال: ١، ٣، ٥، ١، والمدى: ٤، ٢، ٤، −٤.

فالآن لو نركز في رقم واحد في المجال، عنده قراءتين في المدى: ٤ و −٤، فهذه على طول ليست دالة. ولكن لو غيّرنا الرقم واحد هنا وخليناه مثلاً الرقم ستة، فالآن العلاقة تمثل دالة لأن كل عنصر في المجال يقابل عنصراً واحداً فقط في المدى.

لو كانت كل عناصر المدى ٤

طيب السؤال الحين: لو خلينا كل عناصر المدى أربعة، فهل هذه العلاقة تمثل دالة؟ الجواب المفاجئ: نعم، لأن كل عنصر في المجال يقابل عنصراً واحداً فقط في المدى؛ لأن الواحد عندنا هنا أخذ أربعة، والثلاثة أخذ أربعة أيضاً، والخمسة أخذ أربعة، والستة أخذ أربعة.

هذه النقطة التي يحدث فيها لبس، يجب أن تذكرها وتكررها أكثر من مرة.

مثال أخير: أزواج مرتبة

نأخذ مثالاً أخيراً. لو أخذنا علاقة بهذا الشكل وأعطيتك أزواجاً: فتحت لك مجموعة وقلت لك الزوج الأول (٢ ، ١)، ثم الزوج الثاني (٣ ، −٢)، ثم الزوج الثالث (٣ ، ١)، ثم الزوج الأخير (٢ ، −٢).

فالآن كيف نتحقق أنها دالة أو لا؟ نأخذ الاثنين ونرى كم مرة: الاثنين مرتين، في الزوج الأول والزوج الأخير. الزوج الأول أعطانا ١ والزوج الأخير أعطانا −٢، معناتها أن هذه العلاقة ليست دالة؛ لأن نفس العنصر الموجود في المجال، الاثنين هنا والاثنين هنا، أعطانا رقمين مختلفين في المدى الذي يكون في اليسار.

فالأقواس هذه المكونة من أزواج: العدد اليمين من القوس هو عنصر في المجال، والعدد اليسار يكون عنصراً في المدى.