الاستجابة الطبيعية لدوائر RC وRL: الثابت الزمني τ = RC وτ = L/R ولماذا يظهر عدد أويلر e في تفريغ المكثف والمحث

العابر والمستقر Transient / Steady State

لما نشوف capacitor أو inductor في دائرة كهربائية فلازم نعرف أن عندنا عدة حالات، وأول شيء يجي في بالنا مرحلة الـ transient ومرحلة الـ steady state. وزي ما ذكرنا سابقًا، مرحلة الـ transient ممكن تكون milliseconds أو microseconds، ولكن هذه الفترة الزمنية البسيطة بالنسبة للدائرة الكهربائية ممكن يصير فيها أشياء كثيرة، وممكن إحنا نصمم فيها أشياء كثيرة.

العناصر الخاملة Passive Components

نرجع الآن إلى الـ capacitor والـ inductor لما يكونان في دائرة كهربائية، وإيش يفرقان عن الـ resistor. الثلاثة كلها نسميها passive components لأنها ما تعطي طاقة، هي تستقبل طاقة. بالنسبة للـ resistor لما يمر فيه تيار فيصدر حرارة وتضيع لنا الطاقة. أما بالنسبة للـ capacitor فلما يمر فيه تيار فيخزن الطاقة على شكل مجال كهربائي. وأخيرًا الـ inductor لما يمر فيه تيار فأيضًا يخزن طاقة، ولكن على شكل مجال مغناطيسي.

فالآن نستنتج أن فيه فترات زمنية قصيرة بالنسبة للـ inductor والـ capacitor يصير فيها تخزين للطاقة، وفيه فترات يصير فيها تفريغ للطاقة. أما بالنسبة للـ resistor فمريحنا من هذه الناحية: ما فيه أي تخزين للطاقة.

الاستجابة الطبيعية لدائرة RC

فالآن لو شبكنا resistor مع resistor في دائرة مغلقة ما راح يصير عندنا أي شيء، لأن ما فيه مصدر طاقة يحرك لنا الدائرة الكهربائية، إلا إذا شبكنا مصدر فولت أو مصدر تيار. طيب الآن لو جبنا resistor وشبكناه على capacitor، وإحنا نعرف أن الـ capacitor يخزن طاقة، فأول شيء يجي في بالك: هل الـ capacitor الآن مشحون ولا ما فيه شحن، صفر؟ وهذه فكرة الاستجابة الطبيعية للـ RC circuit.

فنفرض أن الـ capacitor مشحون، يعني فيه voltage نسميه V₀، وبعدين نحل الـ voltage والتيار في هذه الدائرة. وطبيعي أن الـ voltage سينزل بشكل exponential، وأيضًا بما أن التيار عبارة عن الـ voltage على المقاومة فسينزل بنفس الطريقة. وهذه معادلة الاستجابة الطبيعية للـ RC circuit: v(t) = V₀ e^(−t/RC) و i(t) = (V₀/R) e^(−t/RC).

الاستجابة الطبيعية لدائرة RL

ونفس الشيء أيضًا عندما يكون عندنا inductor energized، يعني فيه طاقة: لو شبكناه على مقاومة راح يفرغ طاقته هذه في المقاومة. وهذه معادلة الـ voltage بالنسبة للـ RL circuit: v(t) = R I₀ e^(−Rt/L)، وهذه معادلة التيار: i(t) = I₀ e^(−Rt/L).

لماذا يظهر عدد أويلر e

وفي كلتا الحالتين، سواء كانت RL circuit أو RC circuit، طلع معنا في المعادلة Euler number. وهذا شيء متوقع، لأن التناقص اللي قاعدين نشوفه يعتمد على القيمة الحالية: فالقيمة تتناقص، وتناقصها القادم يعتمد على قيمتها الحالية اللي هي في تناقص. فهذا هو المفهوم.

وهذا عكس مثال الكرة الثلجية اللي شفناه لما كنا نشرح Euler number، لما قلنا الكرة الثلجية حجمها في ازدياد، وازديادها القادم يعتمد على حجمها الحالي، وحجمها الحالي أيضًا في ازدياد. فدائمًا رقم Euler يطلع لنا في الازدياد المستمر اللي يعتمد على القيمة الحالية، أو العكس: في الانخفاض المستمر اللي يعتمد على القيمة الحالية.

الثابت الزمني τ

وآخر نقطة معنا: لو رجعنا للمعادلتين نلاحظ أن هناك τ (تاو). في الـ RC circuit τ تساوي RC، أما في الـ RL circuit فتساوي L على R. وكلما زادت قيمة τ معناها الدائرة ستأخذ وقتًا أطول لتفرغ الطاقة التي فيها.

فعشان نتخيل دور الثابت الزمني τ هنا، سنأخذ الدالة الأسية e^(−x/n) ونخلي n هنا عندنا slider نقدر نرفع قيمته. هذه رسمة الدالة. الآن عندما نحرك الـ slider لليمين نزود من قيمة n، سنلاحظ أن المنحنى يتأخر في النزول، والعكس عندما نصغر n فالنزول يصير أسرع. معناها كلما زادت قيمة τ كلما أخذنا وقتنا في تفريغ الطاقة.

بالنسبة للـ RC circuit فـ τ تساوي RC، يعني عشان نطوّل وقت الاستجابة نزود في R أو في C: قيمة R للمقاومة أو قيمة C للـ capacitor. أما بالنسبة للـ RL circuit فـ τ تساوي L على R، يعني عشان نزود الوقت يا إما نرفع قيمة L، نجيب inductor قيمة L فيه عالية، أو ننقص قيمة R.