تحليل دوائر التيار المتردد AC بالفيزور والإمبيدنس Z مع مثال دائرة توالي RLC

من DC إلى AC

في الدروس السابقة شفنا كيف نحلل التيار الثابت DC: تكلمنا عن Nodal Analysis وMesh Analysis وKVL وKCL. ولكن السؤال: كيف نحلل التيار المتردد AC؟ الجواب إن عشان نحلل AC في الـ steady state، يعني ما علينا من الترانزينت، نقدر نستخدم الفيزرز. وإذا استخدمنا الفيزرز فنقدر نستخدم نفس القوانين اللي استخدمناها في DC: Nodal Analysis وMesh Analysis وKVL وKCL.

عالم الأعداد المركبة

استخدام الفيزر يعني إننا ننتقل من الـ time domain إلى الـ complex domain، اللي هو عالم الأعداد المركبة. وفي عالم الأعداد المركبة يكون عندنا خط الأعداد: هنا الأعداد الموجبة، هنا الصفر، هنا السالبة، ويكون فوق عندنا الأعداد التخيلية. دوران العدد عكس عقرب الساعة يكون موجب: إذا راح 90 درجة يصير j، و180 درجة يصير سالب. أما دوران العدد مع عقرب الساعة فيكون سالب: هنا عندنا −j، ولو كملنا الدوران −180 نوصل إلى العدد السالب أيضًا من الجهة الأخرى.

القاعدة الأولى: الضرب في j اشتقاق والقسمة على j تكامل

فهنا نستنتج أن الضرب في j عبارة عن دوران 90 درجة، وهذا يمثل الاشتقاق، لأن مشتقة الكوساين هي سالب ساين والفرق بينهم 90 درجة. أما القسمة على j فتنزلنا مع عقرب الساعة 90 درجة، ويعتبر هذا تكامل، لأن تكامل الكوساين هو الساين. فهذه أول قاعدة نعرفها: إذا ضربنا في j فكأننا نسوي اشتقاق، وإذا قسمنا على j فكأننا نسوي تكامل. ولازم نعرف إن واحد على j هو نفسه −j: إذا ضربنا فوق وتحت في j يصير فوق j، وتحت j في j يصير سالب واحد، فيصير معنا −j.

القاعدة الثانية: نحول الساين إلى كوساين

القاعدة الثانية اللي لازم نعرفها إنه لازم نحول إلى الكوساين: إذا شفنا ساين نحولها إلى كوساين، لأن في عالم الفيزر نستخدم الجزء الحقيقي اللي هو الكوساين. وهذه هي قاعدة تحويل الساين إلى كوساين: sin(ωt + φ) = cos(ωt + φ − 90°).

الإمبيدنس

النقطة الأخيرة: كيف نحول المقاومة والكاباسيتور والإندكتور إلى عالم الفيزرز؟ الجميل إن إذا حولناهم إلى عالم الفيزرز نسميهم إمبيدنس، ونعاملهم كأنهم مقاومات عادية. رمز الإمبيدنس هو Z. فالمقاومة الإمبيدنس تبعها هو R: نقول Z_R ونضع نفس رقم المقاومة. أما الإندكتور فالإمبيدنس تبعه jωL، ونتذكر أن الضرب في j يعني اشتقاق. وأخيرًا الكاباسيتور Z_C وهي واحد تقسيم jωC، والقسمة على j كأنها −j لتسوي لنا تكامل.

قانون أوم بالفيزور

فالآن نستخدم قانون أوم بصيغته V = Z · I. الـ Z الآن هي الإمبيدنس ونعاملها مثل المقاومة. فالفولتج على الرزستور R في I. أما الفولتج على الكاباسيتور فيكون I تقسيم jωC، وهذا يسوي لنا تكامل للتيار. وأخيرًا الفولتج على الإندكتور هو jωL في التيار، وهذا يسوي لنا اشتقاق للتيار.

مثال: دائرة توالي RLC

ناخذ الآن مثال ونشوف ما تعلمناه. لو عندنا دائرة كهربائية فيها فولتج سورس 20 sin(4t + 30°)، بعدين مقاومة 3 أوم، بعدين كاباسيتور 1/16 فاراد، وعندنا إندكتور 2 هنري، وكلهم على التوالي، والمطلوب أن نطلع التيار. فكرة الحل إننا نتحول إلى عالم الفيزر ونطلع الإمبيدنس تبع المقاومة والإندكتور والكاباسيتور، ثم ناخذ الفولتج ونقسم على مجموعهم لكي يطلع لنا التيار.

الـ Z بالنسبة للمقاومة 3. الـ Z بالنسبة للإندكتور عبارة عن jω في 2، والأوميغا هذه هي اللي مع الـ t اللي هي 4، فتطلع عندنا j8. بعدين عندنا الكاباسيتور Z_C تساوي واحد على j4 نضربها في الكاباسيتنس اللي هو 1/16، تطلع 4 على j، والـ j في المقام نطلعها فوق تصبح −j، فيطلع −j4.

الآن قبل ما نطلع التيار نقطة مهمة: نحول الساين إلى كوساين، وهذه هي القاعدة: ننقص phase shift 90 درجة، فتطلع 20 cos(4t + 30° − 90°) يعني 20 cos(4t − 60°). فالفيزر يصير 20 والفيز −60 درجة فولت، أما الأوميغا فتبقى زي ما هي 4.

الحل في عالم الفيزر والرجوع إلى الـ time domain

الآن نطلع التيار اللي عبارة عن الفولت تقسيم الـ total impedance. نجمع 3 + j8 − j4 تطلع 3 + j4. الآن نحول الإمبيدنس إلى فيزر، مثل ما نحول الإحداثيات الكارتيزية السينية والصادية إلى القطبية، نفس الطريقة: نطلع الوتر للثلاثة والأربعة يطلع 5، والزاوية تساوي tan⁻¹(4/3) فيصير الناتج 5 والزاوية 53.13، والوحدة للإمبيدنس هي الأوم نفس المقاومة.

الآن التيار يساوي 20 اللي هو الفولت بفيز −60، نقسم على الإمبيدنس 5 بزاوية 53.13، يطلع الناتج 4 والفيز −113.13 أمبير. الآن نرجع للـ time domain فيطلع معنا 4 cos(4t − 113.13°) أمبير. ولو بنحولها إلى الساين نزود عليها 90 درجة: بكل بساطة ما نغير شي بس نزود على الزاوية 90، فتصير −23.13، وهذا هو الناتج بالأمبير باستخدام الساين: 4 sin(4t − 23.13°).