مواقع الأقطاب في تحويل لابلاس Poles: ماذا يخبرنا موقع القطب في مستوى s عن شكل الدالة (ثابتة، نمو، اضمحلال، تذبذب)

سبع دوال في عالم الوقت

مواقع الأقطاب في عالم لابلاس ودلالاتها. عندنا هنا دالة ثابتة في عالم الوقت، وهنا عندنا دالة خطية y تساوي t، وهنا عندنا دالة نمو أسي، وهنا عندنا دالة اضمحلال أسي، وهنا عندنا دالة sine wave، وهنا عندنا sine wave ولكن ارتفاعها في ازدياد مستمر، وأخيرًا عندنا دالة sine wave ولكن ارتفاعها في انخفاض مستمر.

السؤال الآن: هذه الدوال في عالم الوقت، إذا أخذناها إلى عالم الـ s-plane أو عالم لابلاس، فوين تكون الأقطاب؟

الأقطاب على المحور الحقيقي

نبدأ بالدالة الثابتة: هذا هو تحويل لابلاس تبعها، 1 على s، فمعناتها s تساوي صفر هو القطب تبعها.

نروح إلى الدالة الثانية y تساوي t، فتحويل لابلاس تبعها يساوي 1 على s تربيع، معناتها عندنا قطب واحد مكرر عند نقطة الأصل.

لو أخذنا دالة نمو e أس 3t، تحويل لابلاس يساوي 1 تقسيم s ناقص 3، فهذا يعني أن القطب موجود على المحور الحقيقي هنا عند النقطة 3 عند الجهة الموجبة، ومعناتها أنها راح تنمو إلى ما لا نهاية.

عكس هذا الكلام لو أخذنا دالة اضمحلال e أس سالب 3t، فراح نلاقي القطب هنا عند سالب 3، فهذا يعني أن الدالة في تناقص مستمر لين تضمحل.

إلى الآن كل الحالات اللي شفناها على المحور الحقيقي: يا إما الـ s عندها قطب واحد عند الصفر معناتها دالة ثابتة، أو قطب مكرر عند الصفر معناتها دالة خطية. أما إذا كان عددًا حقيقيًا موجبًا فمعناتها الدالة في ازدياد أسي إلى ما لا نهاية، وشفنا أيضًا إذا كان عددًا حقيقيًا سالبًا معناتها الدالة في اضمحلال مستمر.

الأقطاب على المحور التخيلي

الآن بنشوف الأقطاب إذا كانت على المحور الرأسي، يعني عدد تخيلي. فلو أخذنا دالة الساين مثلًا ساين 4t وحولناها باستخدام لابلاس، راح يطلع عندنا F(s) تساوي 4 تقسيم s تربيع زائد 16. لما نساوي المقام بالصفر عشان نطلع الأقطاب راح يطلع عندنا s تساوي زائد أو ناقص 4j، معناتها عندنا قطبين واحد موجب وواحد سالب على المحور التخيلي، والمحور التخيلي في عالم لابلاس معناته دوران.

هذا يأكد على كلامنا في درس سابق أن عشان أطلع دالة ساين فقط من الدوران في عالم الفيزرز فلازم يكون عندي حالتين دوران بإعدادات معينة بحيث أكنسل الكوساين تبعهم، لأن حالة دوران وحدة رح تعطيني ساين وكوساين وليس ساين فقط.

قطب فيه جزء حقيقي وجزء تخيلي

الآن باقي نعرف لو طلع الـ pole مثلًا فيه جزء حقيقي وجزء تخيلي، يعني موجود في الربع الأول أو الثاني أو الثالث أو الرابع، لأن كل اللي شفناه إلى الآن يكون عددًا حقيقيًا فقط يعني على المحور الأفقي، أو عددًا تخيليًا فقط يعني على المحور الرأسي.

لنحصل على أقطاب يكون فيها جزء حقيقي وجزء تخيلي ناخذ مثلًا دالة اضمحلال أسية e أس سالب t ونضربها في دالة ساين، ساين 4t مثلًا. فلما نطلع تحويل لابلاس تطلع 4 تقسيم s زائد 1 بين قوسين تربيع زائد 16. فالآن لما نحل الـ s نلقى سالب 1 زائد أو ناقص 4j. وبما أن القطبين موجودين في النصف اليسار فمعناتها الدالة راح تستقر أو في اضمحلال مستمر. فهذا هو شكلها: يصير عندنا تذبذب واضمحلال مستمر. الجزء التخيلي يتسبب في التذبذب، أما الجزء الحقيقي السالب فيخليها تضمحل.

وأخيرًا لو أخذنا دالة نمو وضربناها في ساين مثلًا e أس t ساين 4t، فراح يصير فيها تذبذب وراح يصير فيها ازدياد مستمر في الارتفاع. فمن غير ما نحسب راح نتوقع أن الأقطاب راح يكون فيها جزء تخيلي وجزء حقيقي موجب: التخيلي يخليها تتذبذب، والجزء الموجب يخليها تزداد إلى ما لا نهاية.