تحويل لابلاس Laplace Transform (٢): لماذا نضرب الدالة في e^(−st) ونجبرها على الاضمحلال، التعريف F(s) = ∫ f(t) e^(−st) dt وما نقرأه من العينة: الدوران والنمو

Laplace Transform طريقة عبقرية سهّلت علينا حل أصعب المعادلات في الهندسة الكهربائية. الهدف الرئيسي من Laplace Transform في الهندسة الكهربائية شبيه بالفيزور: ينقلنا من عالم الوقت إلى عالم الأعداد المركبة. في عالم الأعداد المركبة يتحول التكامل والتفاضل إلى ضرب وقسمة، فتسهل علينا العمليات الرياضية هناك، بعدين نرجع إلى عالم الوقت مرة أخرى بالحل. القصور الذي كان عندنا بالفيزور أنه فقط يتعامل مع steady state، يعني يعطينا ردّة فعل النظام لما يستقر، وما يفهم أبدًا وما يتعامل مع transient. القصور الثاني أن الفيزور يتعامل مع sinusoids، يعني مع الموجات التي تكون على شكل sin أو cos. وهذه الإشكاليات كلها تُلغى مع Laplace Transform: يتعامل مع أي نوع من الموجات سواء كان sin أو step أو غيره، ويتعامل مع steady state زائد transient، يعني الحل سيعطيك ردّة فعل النظام بـ transient زائد steady state. ايش مفهوم المعادلة التي تنقلنا من عالم الوقت إلى عالم الأعداد المركبة؟ فكرة Laplace أنه يضرب الموجة في جزءين: جزء حقيقي وجزء تخيلي. الجزء الحقيقي عبارة عن دالة اضمحلال أسية، وهذا الجزء الذي سيجبر الموجة أن تذهب إلى الاضمحلال لكي نحسب المساحة تحت منحنى الدالة. فلو كانت مثلًا دالة y = x، فنضربها في دالة اضمحلال تجبرها أن تقترب إلى 0 عند ما لا نهاية. وهذا هو الجزء الحقيقي. أما بالنسبة للجزء التخيلي فهو مثل الفيزور. فكذا نضرب الدالة الأساسية بدالة أخرى تتناقص وتدور بنفس الوقت. لو شفنا تعريف Laplace Transform: F(s) تساوي التكامل من 0 إلى ما لا نهاية، بعدين هذه الدالة نضربها في e^(−st) dt. والـ s هنا عبارة عن σ + jω، فمعنى أنه نستبدلها بـ e^(−σt) ضرب e^(−jωt). فهنا نضربها بالجزء الحقيقي ليسبب لها اضمحلالًا، أما الجزء الثاني فنضرب في الجزء التخيلي مثل الفيزور، وهو جزء الدوران. الهدف أن نجبر الدالة على الاضمحلال ونقرأ معالمها الرئيسية، وخاصة الدوران والنمو. فكأننا نأخذ عينة محددة من الدالة بعيدًا عن عالم الوقت، ونقرأ هذه العينة ونحللها في عالم الأعداد المركبة، في عالم مختلف. وبما أن العمليات الرياضية أسهل في عالم الأعداد المركبة، فنقرر التحليل والعمليات الرياضية هناك، ثم نعود إلى عالم الوقت بالتحويل العكسي للابلاس.