متطابقات مجموع زاويتين cos(a+b) وsin(a+b) من صيغة أويلر
من صيغة أويلر إلى متطابقات المجموع
نستطيع استخدام صيغة أويلر لنستنتج بعض المتطابقات المثلثية. نبدأ من صيغة أويلر، هذه قدّامنا: لدينا e أس iθ يساوي cos θ زائد i sin θ. وهذه متطابقة مجموع زاويتين، الزاويتين a وb.
نضع θ = a + b ونفصل الأسس
فالآن نرجع لصيغة أويلر، وبدل الثيتا نضع a وb. والآن خلّيها تساوي صيغة أويلر للـ a مضروبة في صيغة أويلر للزاوية b، لأننا في الضرب نجمع الأسس؛ فلما نجمع الأسس هنا رح يطلع عندنا الطرف اليمين اللي هو e أس i(a + b).
الطرفان بالجيب وجيب التمام
الآن نحوّل الطرفين للساين والكوساين. بالنسبة للطرف اليسار رح يساوي (cos a زائد i sin a) مضروبة في (cos b زائد i في sin b). والطرف اليمين رح يكون cos(a + b) زائد i في sin(a + b).
فك الأقواس و i² = −1
بالنسبة للطرف اليسار عملية الضرب: نفك الأقواس، فيظهر عندنا cos a cos b زائد i cos a sin b زائد i sin a cos b زائد i² sin a sin b. ونشيل i² اللي هنا اللي تساوي سالب واحد؛ تعرفون أن i هي الجذر التربيعي لسالب واحد، فلما نربّعها يظهر معانا سالب واحد.
فالآن نجمع الأعداد الحقيقية اللي ما فيها i، اللي عندك cos a cos b ناقص sin a sin b. بعدين نحط زائد i ونفتح قوسًا ونحط الجزء التخيلي: sin a cos b زائد cos a sin b.
نساوي الجزء الحقيقي والجزء التخيلي
فلما نساوي الأجزاء الحقيقية مع الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيلية مع التخيلية، رح يطلع عندنا من الأجزاء الحقيقية cos مجموع الزاويتين a وb، هذه المتطابقة. أما بالنسبة للجزء التخيلي فسوف يظهر sin(a + b)، هذه المتطابقة. وبنفس الطريقة نستنتج الفرق ما بين الزاويتين: cos(a − b) وsin(a − b).
عن هذا الدرس
بدل حفظ متطابقتي مجموع الزاويتين، نستنتجهما في دقيقتين من صيغة أويلر e^(iθ) = cos θ + i sin θ: نضع θ = a + b، ونكتب e^(i(a+b)) = e^(ia) · e^(ib) لأن الأسس… هذا الدرس ضمن مقدمة لمنهج الهندسة الكهربائية أساسيات الكهرباء في أكاديمية موسى.