تكامل ومشتقة الدوال المثلثية sin وcos: خريطة الإشارات بدون حفظ
السؤال: الإشارات بين الساين والكوساين
لما نتكلم عن الساين والكوساين فكل واحدة مشتقة الثانية، وكل واحدة تكامل الثانية، ولكن دائمًا الإشكالية في الإشارات: هل مشتقة الساين هي كوساين أو سالب كوساين؟ وبالنسبة لتكامل الكوساين، هل هو ساين أو سالب ساين؟ وبالنسبة للـ phase shift: هل الساين هي عبارة عن كوساين نسوي لها shift إلى اليمين 90 درجة أو إلى اليسار 90 درجة؟ يعني هنا نحط موجب أو سالب؟ وسواء حطّينا موجب أو سالب، هل نعتبر الكوساين leading، يعني هي اللي قبل، أو lagging؟
فالحل لهذه التساؤلات، واللي يخلّينا نتذكرها وما نغلط فيها، هو عالم الفيزرز اللي شرحناه سابقًا.
الخريطة: مع عقارب الساعة تكامل وعكسها اشتقاق
ولكن يكفينا أن نتذكر هذه الخريطة: هنا عندنا الكوساين، وتحته عندنا الساين، بالنسبة للأعلى هنا عندنا سالب ساين، واليسار سالب كوساين.
الآن نركّز على الكوساين والساين اللي هنا، على الربع هذا: إذا بنمشي مع عقارب الساعة فإحنا نسوي تكامل، وإذا بنمشي عكس عقارب الساعة فإحنا نسوي اشتقاق.
فالآن تكامل الكوساين هو موجب ساين، لأننا نمشي مع عقارب الساعة وننزل إلى الأسفل. أما لو بنشتق الكوساين فنطلع إلى الأعلى عكس عقارب الساعة، ويصير عندنا سالب ساين.
نقدر نسوي نفس الشيء للساين. الساين هنا تحت، فلما بنسوي تكامل نمشي مع عقارب الساعة ويطلع عندنا سالب كوساين، ولما بنسوي اشتقاق نروح عكس عقارب الساعة ويطلع عندنا كوساين.
الفيزر يدور عكس عقارب الساعة: الكوساين يسبق الساين
ولازم نعرف أن في الفيزرز اتجاه الدوران عكس عقارب الساعة، زي كذا نمشي. فلما يبدأ الدوران عكس عقارب الساعة نشوف أن الكوساين سابق الساين بـ 90 درجة. فهنا يطلع عندنا الـ leading: الكوساين هو الـ leading، والـ lagging اللي وراء هو الساين، والفرق بينهم 90 درجة.
فإحنا في عالم الـ AC، التيار المتردد، دائمًا نستخدم الكوساين، اللي هو الجزء الحقيقي من الفيزر. فلما يطلع عندنا ساين لازم نعبّر عنه بالكوساين: إذا شفنا ساين نقدر نعبّر عنه بالكوساين ونقول هي نفسها الكوساين ولكن سالب 90 درجة، يعني سوّينا لها phase shift سالب 90 درجة. فهذا هو منظور الفيزرز الموجود في مستوى الأعداد المركبة.
في الـ time domain: الإزاحة يمينًا إشارة سالب
ونفس هذه النتائج ممكن نحصل عليها بالـ time domain، ولكن رح تكون فيها لخبطة شوي. فمثلًا الكوساين كذا رسمتها، وكذا رسمت الساين. فالآن الكوساين، عشان أحوّلها إلى ساين، لازم أزيحها لليمين 90 درجة. وإحنا نعرف في الـ time domain أن الإزاحة إلى اليمين نحط لها علامة سالب، والإزاحة إلى اليسار نحط لها علامة موجب، وهذه واحدة من العمليات الهندسية على الدوال.
فلما أشوف دالة ساين أقول هي عبارة عن كوساين وأحط سالب 90 درجة، يعني أزحناها إلى اليمين 90 درجة.
عن هذا الدرس
كل من الساين والكوساين مشتقة الأخرى وتكاملها، والإشكال دائمًا في الإشارة: هل مشتقة الساين كوساين أم سالب كوساين؟ وهل تكامل الكوساين ساين أم سالب ساين؟… هذا الدرس ضمن مقدمة لمنهج الهندسة الكهربائية أساسيات الكهرباء في أكاديمية موسى.