مفهوم الكوساين Cosine: الإسقاط الأفقي للحركة الدائرية ودائرة الوحدة
من أين جاء الكوساين
لما نتكلم عن الكوساين فالموضوع دائمًا مرتبط بمثلث قائم الزاوية، وغالبًا يكون مرتبطًا بالدوران. فمن أين جاء الكوساين؟
لو عندنا زاوية مثل هذه، هنا زاوية الصفر، ونحن نكبّر الزاوية ونرفع فيها وننزل فيها. لو سلّطنا نورًا من الأعلى وراقبنا إسقاط الظل من هذا الضلع على مستوى الضلع الذي تحت، فهذا هو مفهوم الكوساين.
الظل من الصفر إلى 360 درجة
كلما فتحنا الزاوية يتناقص معنا الظل، وينعدم تمامًا لما نوصل إلى 90 درجة. لو حطينا هنا محور السينات وهنا محور الصادات وفتحنا أكثر من 90، نلاحظ أن الظل يروح إلى الجهة السالبة، ويتزايد في القيمة السالبة بنفس المقدار الذي تناقص فيه حتى وصلنا إلى 90، إلى أن يصل إلى 180. عند 180 نكون وصلنا إلى أقصى قيمة سالبة.
الآن نأخذ الأشعة من فوق وننزلها إلى الأسفل، لأننا سنتعامل مع النصف الأسفل من المستوى، ونكمل نتابع سقوط الظل على المحور الأفقي. نلاحظ أن القيمة السالبة ترتفع بلغة الأرقام، يعني تقترب إلى الصفر، أو تنخفض قيمتها السالبة حتى تصل إلى الصفر عند 270 درجة. بعد ذلك ندخل في القيمة الموجبة لإسقاط الظل على المحور الأفقي، ويرتفع تدريجيًا حتى نصل إلى نقطة الصفر ونرجع إلى أعلى قيمة لإسقاط الظل على المحور الأفقي.
قيم الكوساين عند الزوايا الربعية
لو فرضنا أن طول نصف قطر الدوران يساوي 1، فسنجد أن كوساين الصفر أو 360 درجة يساوي 1، وكوساين 90 يساوي 0، وكوساين 180 يساوي سالب 1، وكوساين 270 يساوي 0 أيضًا، ثم نرجع إلى كوساين الصفر أو 360 درجة ويساوي 1.
لماذا لا يكفي المثلث القائم
لو كنا متعمقين قليلًا في المثلثات وعلاقتها بالساين والكوساين، يأتي في بالنا دائمًا أن المثلث لازم يكون قائم الزاوية. في مثالنا قبل قليل كانت الزاوية القائمة هنا عند حافة الإسقاط، أي إسقاط الظل على المحور الأفقي؛ فهذا الضلع دائمًا بزاوية قائمة مع المحور الأفقي.
ونعرف أن مجموع زوايا المثلث 180 درجة. فنتعامل مع هذه الزاوية ثيتا على أساس أن التي تقابلها هنا 90 درجة. فنرفع في ثيتا حتى تصل إلى 90. لما نصل إلى 90 هنا وعندنا هناك 90 درجة فهذا شيء مستحيل، لأن مجموع زوايا المثلث 180، فزاويتان منها صارتا 180؛ الزاوية الثالثة كم تأخذ؟ في الأخير عندنا ثلاث زوايا، اثنتان منها 90 وصلتا إلى 180، فالثالثة ستأخذ صفرًا. هذا غير معقول وليس مثلثًا.
دائرة الوحدة
هنا يأتي دور دائرة الوحدة التي توسّع مفهوم الساين والكوساين. في دائرة الوحدة نتخيل أننا ندور على دائرة نصف قطرها واحد. لما نكون في الربع الأول يكون شكل المثلث هكذا، ولما ننتقل إلى الربع الثاني كأن المثلث ينعكس، ولما ننزل إلى الربع الثالث ينعكس على المحور الأفقي، وأخيرًا لما نروح إلى الربع الأخير فكأن المثلث ينعكس حول المحور العمودي ويصير هنا.
أما لما تكون الزاوية 0 أو 90 أو 180 أو 270 أو حتى 360، فهذه نسميها Boundary Conditions، أو في بعض الكتب نسميها الزوايا الربعية، وقيمة الكوساين ستكون على الحدود: إما 0 أو 1 أو سالب 1.
عن هذا الدرس
نفهم مفهوم الكوساين Cosine من الحركة الدائرية: ظلّ ضلع يدور على المحور الأفقي عندما يسقط عليه ضوء من الأعلى، كيف يقصر الظل حتى ينعدم عند 90° ثم ينقلب إلى… هذا الدرس ضمن مقدمة لمنهج الهندسة الكهربائية أساسيات الكهرباء في أكاديمية موسى.