الفيزر Phasor: تمثيل موجة الساين بسهم طوله الارتفاع وزاويته الإزاحة في دوائر AC

كل إشارة AC هي ساين

في هذا الفيديو سنتعلم ما يعني فيزر، وليش نستخدمه بكثافة في الهندسة الكهربائية.

في درس سابق اتفقنا أن الجسم إذا كان يدور بحركة دائرية فله ظل على المحور الرأسي وظل على المحور الأفقي. ولو رسمنا الظل الرأسي مع الزمن يطلع معنا ساين، ولو رسمنا الظل الأفقي مع الزمن يطلع معنا كوساين. الآن لو رسمنا الظلين مع بعض نشوف أنهما نفس الموجة بالضبط، بس بينهما إزاحة 90 درجة. فمعناها نقدر نقول إن الكوساين هو نفس موجة الساين، ولكن زحفنا الموجة شوي بحيث إن قمتها تبدأ عند نقطة الصفر. فلما نقول ساين أو كوساين فنحن نقصد هذا الشكل، سواء بدأنا من القمة أو من الصفر.

في عالم التيار المتردد كل إشارة نتعامل معها تكون بنفس هذه الموجة، نفس موجة الساين. وهذه معادلتها: v(t) = V sin(ωt + φ). الـ V هي المقدار Magnitude، أي ارتفاع الساين ويف. وعندنا ω هي السرعة أو السرعة الزاوية Angular velocity، يعني كم مرة تتكرر في الثانية. أما φ فهي الزاوية أو الإزاحة Phase shift، يعني من وين بدأت الموجة. ولاحظ أن φ هذه تكفينا سواء للساين أو الكوساين: نقدر نزيح الموجة 90 درجة فتتحول من كوساين إلى ساين.

ماذا يحدث لما تمر الساين في R أو L أو C

طيب، الآن قلنا إن التيار الكهربائي AC نقدر نمثله بهذه المعادلة. خلونا نشوف إيش يصير لما يمر في R مقاومة، أو في محث Inductor، أو في مكثف Capacitor. نلاحظ أن اللي يطلع لنا دائمًا ساين ويف بنفس السرعة ω. اللي يتغير معنا شيئان فقط: الارتفاع والإزاحة. يعني ممكن الموجة تطلع أطول أو أقصر، أو تتحرك يمين أو يسار، لكن ما يتغير شكلها ولا تتغير سرعتها.

وهذه الفكرة الأساسية للدرس: في دائرة AC السرعة ω دائمًا ثابتة في كل الدائرة، واللي نحتاج نتابعه فقط الارتفاع والزاوية.

مشتقة الساين وتكاملها

طيب، الآن نفهم كيف تحصل الإزاحة. الإزاحة للموجة تصير لأن المحث والمكثف فيهما تفاضل وتكامل، فلما تمر الموجة يصير عندنا تكامل أو تفاضل. إذا مرت في المكثف يطلع عندنا تكامل الساين ωt، أما إذا مرت في المحث فيطلع عندنا اشتقاق الساين ωt.

الآن لاحظ: مشتقة الساين هي كوساين، والكوساين هو نفس الساين مزاحة 90 درجة للأمام. أما تكامل الساين فهو سالب كوساين، وسالب الكوساين هو نفس الساين مزاحة 90 درجة للخلف. يعني الاشتقاق لا يغير شكل الموجة، بس يقدّمها 90 درجة وأيضًا يضرب ارتفاعها في ω. أما التكامل فيؤخّرها 90 درجة ويقسم ارتفاعها على ω.

ثلاث دوائر بسيطة

فلو جبنا مصدر تيار ساين ويف ومررناه على عنصر واحد، مثلًا مقاومة. لما نقيس الفولت على المقاومة نلاقيه R المقاومة ضرب التيار sin t. نشوف أن الناتج نفس الموجة ونفس الزاوية، بس الارتفاع هو اللي تغير. فالمقاومة ما تسوي لنا إزاحة، يعني ما تسوي لنا لا تكامل ولا تفاضل.

لكن لو حطينا بدلها محث Inductor، فالجهد على المحث يساوي L في مشتقة التيار. فيطلع عندنا L في مشتقة الساين، اللي هي cos t. والـ L طبعًا تساوي واحدًا، أما مشتقة الساين فهي cos t. ونقدر نقول إن الكوساين هو نفسه sin t والزاوية نزيد عليها 90 درجة: sin(t + 90°). فرجعنا إلى الساين، بس سوينا لها إزاحة Phase shift 90 درجة.

وأخيرًا لو أخذنا المكثف Capacitor وسوينا نفس الطريقة: الجهد على المكثف يساوي تكامل الساين مضروبًا في واحد على C. نفرض أن C تساوي واحدًا، فواحد على واحد يساوي واحدًا. تكامل الساين هو سالب cos t، وسالب cos t هو sin(t − 90°). يعني سوينا لها إزاحة ورجعناها 90 درجة.

فالخلاصة أن عندنا ثلاث حالات وثلاث نتائج وكلها ساين ويف: عند المحث زدنا 90 درجة، وعند المكثف نقصنا 90 درجة.

فكرة الفيزر

فالآن نجي لفكرة الفيزر. بما أن كل الموجات في الدائرة ساين ويف وكلها بنفس السرعة ω، فليش كل شوي أرسم نفس الساين ويف؟ أنا فقط أحتاج الارتفاع والزاوية. والشيء اللي له ارتفاع وزاوية هو سهم أو متجه، وهذا هو اللي نسميه الفيزر. طوله يصير الارتفاع، وزاويته تكون الإزاحة، أو من وين تبدأ الموجة. وهذا هو نفس نصف القطر اللي كان يدور في درس الحركة الدائرية اللي أخذناه سابقًا، لكن كأننا وقفنا الزمن وصوّرناه.

وممكن هنا نتساءل ونقول: طيب وين راح الجزء الأفقي؟ فالجواب أن الكوساين ما زال الظل الأفقي لنفس السهم. فعشان كذا اكتفينا بأن نستخدم ظلًا واحدًا فقط، اللي هو الظل الرأسي، اللي هو الساين، لأن في الأخير كل الأسهم تدور في الدائرة بنفس السرعة.

والآن لما استخدمنا الفيزر، الشيء الجميل أن الاشتقاق صار سهلًا جدًا: مشتقة الساين نقدّمها 90 درجة، يعني الفيزر يدور ربع دورة لليسار ويطول بمقدار ω. أما عملية التكامل فصارت عبارة عن تدوير للفيزر ربع دورة لليمين ويقصر بمقدار ω.

الدوائر الثلاث بالفيزر

فالآن نرجع للدوائر الثلاث. التيار فيزر على المحور الأفقي، زاويته صفر. المقاومة جهدها فيزر على نفس الخط، طوله R في التيار. المحث جهده فيزر يشير إلى الأعلى، 90 درجة، طوله ωL في التيار. المكثف جهده فيزر يشير إلى الأسفل، ناقص 90 درجة، طوله واحد على ωC في التيار. فبدل ما نستخدم ثلاث موجات وتفاضل وتكامل، صار عندنا ثلاثة أسهم فقط.

مثال: مقاومة ومحث على التوالي

وفائدة الفيزر تظهر لما نجمع أكثر من عنصر في الدائرة الكهربائية. فلو أخذنا مقاومة ومحثًا على التوالي يمر فيهما نفس التيار sin t بارتفاع واحد، والمقاومة مثلًا 3 أوم، وبالنسبة للمحث ωL تساوي 4. جهد المقاومة فيزر طوله 3 على الأفقي، جهد المحث فيزر طوله 4 للأعلى، وجهد المصدر هو مجموعهما. فالآن نقدر نستخدم KVL: نرسم من رأس الأول للثاني، والناتج من البداية للنهاية. فالآن جهد المصدر ارتفاعه 5 وزاويته 53 درجة. يعني لو رجعنا للموجات: الجهد الكلي sin بارتفاع 5 يسبق التيار بـ 53 درجة. فحصلنا على الجواب بمثلث قائم، بدون أن نجمع sin أو cos ولا نحسب تفاضلًا ولا تكاملًا.