صيغة أويلر Euler's Formula: e^(iθ) = cos θ + i sin θ - لماذا الضرب في i دوران 90°
صيغة أويلر والدوران
صيغة أويلر Euler's Formula من أعظم المفاهيم التي ربطت الساين والكوساين بالحركة الدائرية. وهي معادلة رياضية أثبتها أويلر، ويغلب على الظن أنه ما كان يعرف أنها مرتبطة بالدوران.
خط الأعداد: 0° و180°
عشان نفهم هذه المبرهنة، خلونا نرجع إلى خط الأعداد. على خط الأعداد عندنا أعداد موجبة، والصفر، وبعدين عندنا الأعداد السالبة. ممكن ننظر إلى الأعداد الموجبة والسالبة على أن بينهما 180 درجة: فلو قلنا الأعداد الموجبة هي زاوية الصفر، فالأعداد السالبة هي زاوية 180 درجة.
العدد التخيلي i: دوران 90°
من هذا المبدأ جاء تعريف i، وهو الجذر التربيعي لسالب واحد. فلو عندنا الرقم واحد هنا، ولو ضربناه في i رح ينتقل 90 درجة ويتعلق هنا. ولما نضرب في i مرة ثانية رح يُضرب في سالب وينتقل إلى هنا ويصير سالب واحد.
الآن نقدر ننظر إلى i على أنها تغيير لزاوية الرقم: يعني أعطت الرقم 90 درجة، ولما ضربنا مرة ثانية أيضًا أضافت 90 درجة ووصلتنا إلى السالب الذي هو 180 درجة.
الدوران يحافظ على قيمة الرقم
ما يميز هذا الدوران أننا محافظون على قيمة الرقم. نحن ممكن ننتقل على خط الأعداد من واحد إلى سالب واحد: ننقص قيمة الواحد لنصل إلى الصفر، وبعدين نأخذ القيمة السالبة لنصل إلى سالب واحد. ولكن الميزة لما نسوي دورانًا أننا نحافظ على نفس الرقم، يعني ما نغيّر في قيمة الرقم؛ قيمة الرقم دائمًا ثابتة واحد. فنأخذه كما هو بقيمته ونسوي دورانًا ونصل إلى 90 ثم نصل إلى 180 درجة. فهذا هو مفهوم الأعداد التخيلية.
ماذا فعل أويلر: المستوى المركب
بالنسبة لأويلر، ماذا فعل؟ هو عرّف المناطق ما بين الـ 90 وما بين الـ 180 أو حتى الـ 270 أو 360 درجة. فلو عندنا هنا خط الأعداد الحقيقي، وهنا عمودي عليه خط الأعداد التخيلية، فأويلر عرّف لنا الحركة الدورانية للأرقام مع المحافظة على قيمتها.
فلو تحرك الرقم واحد مثلًا 30 درجة، فهو يساوي كوساين 30 زائد i في ساين 30. فكوساين θ يعطينا الجزء الحقيقي، وساين θ يعطينا الجزء التخيلي.
استنتاج قاعدة فيثاغورس بخطوتين
وأخيرًا رح نشوف بساطة استنتاج قاعدة فيثاغورس باستخدام صيغة أويلر. هذه قاعدة فيثاغورس: sin²θ + cos²θ = 1.
فالآن لو ضربنا e أس iθ في e أس −iθ، باستخدام صيغة أويلر رح تطلع (cos θ + i sin θ)، نقفل القوس ونضرب في (cos θ − i sin θ).
بالنسبة للطرف الأيسر نجمع الأسس، فيطلع عندنا e أس صفر، وهي تساوي واحد. نروح للطرف الأيمن ونفك الأقواس ونضربها بالتوزيع، فيطلع عندنا cos²θ − (i sin θ)². الساين مع i يطلع سالب، فسالب في سالب يطلع موجب: cos²θ + sin²θ. فهكذا أثبتنا نظرية فيثاغورس بخطوتين سريعتين.
عن هذا الدرس
نفهم صيغة أويلر Euler's Formula من الدوران: على خط الأعداد الموجب عند 0° والسالب عند 180°، والعدد التخيلي i = √−1 يدير الرقم 90° ثم 90° أخرى ليصل إلى −1… هذا الدرس ضمن مقدمة لمنهج الهندسة الكهربائية أساسيات الكهرباء في أكاديمية موسى.