فكرة فورييه: أي دالة دورية مجموع sin و cos كما الأعداد الأولية لبنات الأعداد

فكرة فورييه

فكرة العالم فورييه التي سهّلت علينا تحليل الموجات الكهربائية شبيهة جدًا بفكرة الأعداد الأولية.

الأعداد الأولية لبنات الأعداد

الأعداد الأولية تعتبر اللبنة الأساسية لكل الأعداد. فعندنا مثلًا الرقم 2 نقدر نعتبره لبنة أساسية للرقم 4 و6، لأن الأربعة عبارة عن 2 مرتين، والستة عبارة عن 2 ثلاث مرات.

بينما لو رحنا للثلاثة فما نقدر نجزئها، عشان كذا نعتبرها عددًا أوليًا أو Prime Number. والخمسة مثلًا ما نقدر نجزئها، عشان كذا نعتبرها Prime Number أو عددًا أوليًا. ولو رحنا للعدد سبعة فما نقدر نجزئه مثلًا إلى 2 أو إلى 3، فعشان كذا يعتبر عددًا أوليًا.

فهذه الفكرة الأساسية للـ Prime Numbers أو الأعداد الأولية: إنها لبنات أساسية نكوّن منها باقي الأعداد. وطبعًا عدد الـ Prime Numbers أو الأعداد الأولية عدد لا نهائي، وإلى اليوم في نقاش بين العلماء حول حصر أماكنها وتوزيعها.

الدوال الدورية

ولكن الذي يهمنا أن العالم فورييه فكّر بنفس الطريقة بالنسبة للدوال الدورية. والمقصود بالدوال الدورية هي الدوال التي تتكرر بعد كل فترة، زي الموجة المثلثية أو دالة المنشار أو الموجة المربعة، أو حتى أي شكل يكرر نفسه بعد كل فترة.

لبنات فورييه: الجيب وجيب التمام

ففورييه قال إنه يقدر يمثّل أي دالة دورية بلبنات أساسية هي دالة الجيب sin ودالة جيب التمام cos، وطبعًا مع الهارمونيكس تبعها. والمقصود بالهارمونيكس مثلًا sin 2x و sin 3x و sin 4x، و cos 2x و cos 3x و cos 4x، وهكذا.

الموجة المثلثية ودالة المنشار بطريقة فورييه

فعندنا هنا مثلًا تمثيل الموجة المثلثية بطريقة فورييه، ونشوف كلما زدنا حدًا كلما اقتربنا إلى شكل الموجة المثلثية، ونحن الآن نزيد جيوبًا وجيوب تمام فقط.

نفس الشيء لو أخذنا دالة المنشار: نرى تمثيلها بطريقة فورييه، وكيف كلما زدنا حدًا كلما اقتربنا من شكل دالة المنشار. فهذه الفكرة الأساسية لنظرية فورييه.

من الرياضيات إلى الكهرباء

وطبعًا هذا الموضوع كان بعيدًا جدًا عن عالم الكهرباء، كان مجرد تحليل رياضي. ولكن بما أننا في عالم الكهرباء نتعامل مع تيار متردد على شكل موجة جيبية Sine Wave، فإحنا جبنا هذه النظرية واستفدنا منها في عالم الكهرباء وفي تحليل الإشارات والأنظمة Signals and Systems.