شرح عدد المربعات داخل شكل منتظم

عدد المربعات

في شبكة n × n كاملة

عدد المربعات = 1² + 2² + 3² + … + n²

1القاعدة: شبكة 2 × 2

لا نعُدّ المربعات الصغيرة فقط — الشبكة كلها مربع أيضاً! نعُدّ حسب الحجم: المربعات 1×1، ثم 2×2، وهكذا:

المربعات 1×1 عددها 4 = 2²، والمربع 2×2 الكبير 1 = 1²:

1² + 2² = 1 + 4 = 5

5 مربعات

2شبكة 3 × 3

المربعات 1×1: 9 ، المربعات 2×2: 4 ، المربع 3×3: 1:

1² + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14

14 مربعاً

3المربعات في الأشكال غير المنتظمة

عندما يكون الشكل ناقصاً، القانون وحده لا يكفي. طريقتان:

① نتخيّل الشكل شبكة كاملة ونحسب عددها، ثم نحذف المربعات التي تمرّ خلال مكان النقص.

② أو نعُدّ حسب الحجم: الصغيرة 1×1 أولاً، ثم الأكبر التي ما زالت مكتملة.

4مثال 1: شبكة ناقص ركن

شبكة 3 × 3 ناقص مربع الزاوية:

1×1 : 8 ، 2×2 المكتملة : 3

8 + 3 = 11 (بدل 14 للشبكة الكاملة)

11 مربعاً

5مثال 2: ناقص ركنين متقابلين

شبكة 3 × 3 ناقص ركنين متقابلين:

1×1 : 7 ، 2×2 المكتملة : 2

7 + 2 = 9

9 مربعات

6مثال 3: ناقص الوسط

شبكة 3 × 3 ناقص المربع الأوسط:

المربعات 1×1: 8 — ولا يوجد أي 2×2 أو 3×3 مكتمل، لأن كلها تمرّ بالفراغ الأوسط.

8 مربعات

7مثال 4: شكل الصليب

المربعات 1×1: 5 — ولا يوجد 2×2 لأن الأركان ناقصة.

5 مربعات

8مثال 5: شبكة 4 × 4 ناقص ركن 2 × 2

1×1 : 12 ، 2×2 المكتملة : 5

12 + 5 = 17 (بدل 30 للشبكة الكاملة 4×4)

17 مربعاً

عدد المربعات داخل شكل منتظم