درس 4

الاتجاهات في التكامل

التكامل لا يقيس المساحة الهندسية دائماً — بل يقيس المساحة المُوجَّهة. المناطق فوق المحور السيني تُعدّ موجبة، والمناطق تحته تُعدّ سالبة. فهم هذا الفرق ضروري لتفسير نتائج التكامل بشكل صحيح.

قاعدة
إشارة المساحة — موجبة أم سالبة؟
a b x + f(x) > 0
فوق المحور السيني — موجب: عندما تكون f(x) > 0 على الفترة [a,b]، فإن التكامل يعطي قيمة موجبة.
\int_a^b f(x)\,dx > 0
a b x − f(x) < 0
تحت المحور السيني — سالب: عندما تكون f(x) < 0 على الفترة [a,b]، فإن التكامل يعطي قيمة سالبة.
\int_a^b f(x)\,dx < 0
x + −
منطقتان مختلطتان: التكامل يجمع المساحتين مع إشاراتهما — المساحة الموجبة تطرح منها السالبة.
\int_a^b f(x)\,dx = A^+ - A^-
اتجاه
اتجاه التكامل — من اليسار أم اليمين؟
a b a → b x
من a إلى b (يسار → يمين): الاتجاه الطبيعي. المساحة فوق المحور تعطي نتيجة موجبة.
\int_a^b f(x)\,dx = +A
a b b → a x
من b إلى a (يمين → يسار): قلب حدود التكامل يُعكس الإشارة. نفس المساحة لكن النتيجة سالبة.
\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx = -A
حالتان
متى تكون النتيجة سالبة رغم وجود مساحة حقيقية؟
a b x − f(x) < 0
الحالة 1 — المنحنى تحت المحور: المساحة الهندسية موجودة وحقيقية، لكن التكامل يُعطي قيمة سالبة لأن f(x) < 0. للحصول على المساحة الحقيقية:
\text{المساحة} = \left|\int_a^b f(x)\,dx\right|
b a x b ← a −
الحالة 2 — الحدود معكوسة: المنحنى فوق المحور والمساحة موجبة هندسياً، لكن التكامل من b إلى a (يمين لليسار) يُعطي نتيجة سالبة. للتصحيح:
\text{المساحة} = -\int_b^a f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx
1️⃣ f(x) > 0 فوق المحور → التكامل موجب
2️⃣ f(x) < 0 تحت المحور → التكامل سالب
3️⃣ نتيجة سالبة لسببين: المنحنى تحت المحور، أو الحدود معكوسة
4️⃣ للمساحة الحقيقية: خُذ \left|\int_a^b f\,dx\right| أو اعكس الحدود \int_b^a = -\int_a^b
✏️

جرّب بنفسك

📝اختبار الدرس

المساحة الموجّهة — إشارة التكامل

1 / 3
abcxy+−
منحنى f(x) يقطع المحور السيني عند c. إذا كانت A⁺ = 5 و A⁻ = 3، فما قيمة ∫ₐᵇ f(x) dx؟
العلاقة بين الدالة و مشتقتها (النظرية الأساسية للتكامل و التفاضل)