درس 9

التكامل بالأجزاء Integration by parts

ماذا لو كان التكامل ضرب دالتين مختلفتين ولا يمكن حله بالتعويض؟ هنا يأتي التكامل بالأجزاء — وهو عكس قاعدة ضرب الاشتقاق.

القاعدة
صيغة التكامل بالأجزاء
مشتقة حاصل الضرب تعطي: \(\dfrac{d}{dx}[u\,v] = u'v + uv'\)، بالتكامل على الطرفين:
\[\int u\,dv = u\,v - \int v\,du\]
نختار \(u\) — الدالة التي تبسّط عند الاشتقاق
← كثيرات الحدود، ln، arctan
نختار \(dv\) — الدالة التي يسهل تكاملها
← eˣ، sin، cos
قاعدة
LIATE — كيف تختار u؟
اختر \(u\) بحسب هذا الترتيب — الأعلى في القائمة يكون \(u\):
L
اللوغاريتمية  \(\ln x,\ \log x\)
I
العكسية المثلثية  \(\arctan,\ \arcsin\)
A
الجبرية  \(x^n,\ x^2+1\)
T
المثلثية  \(\sin x,\ \cos x\)
E
الأسية  \(e^x,\ a^x\)
أمثلة
تطبيقات التكامل بالأجزاء
مثال 1 — كثير حدود × أسية
\[\int x\,e^x\,dx\]
\(u = x \implies du = dx\)
\(dv = e^x dx \implies v = e^x\)
\[\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx = x\,e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C\]
مثال 2 — لوغاريتم (بالأجزاء مرة واحدة)
\[\int \ln x\,dx\]
نكتب \(\ln x = \ln x \cdot 1\) ونطبّق الأجزاء:
\(u = \ln x \implies du = \dfrac{1}{x}dx\)
\(dv = dx \implies v = x\)
\[\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C\]
مثال 3 — كثير حدود × مثلثية
\[\int x\,\cos x\,dx\]
\(u = x \implies du = dx\)
\(dv = \cos x\,dx \implies v = \sin x\)
\[\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C\]
مثال 4 — تطبيق مرتين (x² eˣ)
\[\int x^2\,e^x\,dx\]
نطبّق الأجزاء مرتين — في كل مرة ينخفض أس \(x\) بمقدار 1:
\[u=x^2,\ dv=e^x dx \implies x^2 e^x - 2\int x\,e^x\,dx\] \[= x^2 e^x - 2\bigl[e^x(x-1)\bigr] + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C\]
1️⃣ الصيغة: \(\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du\)
2️⃣ اختر \(u\) بقاعدة LIATE — الأعلى في القائمة يكون \(u\)
3️⃣ \(\int v\,du\) يجب أن يكون أبسط من التكامل الأصلي — وإلا أعد الاختيار
4️⃣ أحياناً تحتاج تطبيق الأجزاء أكثر من مرة
5️⃣ تحقّق بالاشتقاق: اشتق جوابك للتأكد ✓

اختبار الدرس

1
لحساب ∫ x·eˣ dx بالأجزاء، ما الاختيار الصحيح لـ u و dv؟
2
ما ناتج التكامل؟
∫ ln(x) dx
3
ما ناتج التكامل؟
∫ x·cos(x) dx
التكامل بالأجزاء Integration by parts – التكامل: أساسيات ومفاهيم | أكاديمية موسى