تكامل الدوال المثلثية الأساسية

قواعد

التكاملات المثلثية الأساسية

تحقّق: كل نتيجة — اشتقاقها يعيد المتكامل الأصلي. مثلاً \(\dfrac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x\) ✓

برهان

لماذا \(\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|\,?\)

نكتب \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) ثم نعوّض \(u = \cos x\):

\[du = -\sin x\,dx \implies \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int\frac{1}{u}\,du = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C\]

تقنية

تكامل \(\sin^2 x\) و \(\cos^2 x\) — تخفيض الأس

لا يمكن تكامل \(\sin^2 x\) مباشرة — نستخدم هوية المضاعف:

\[\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2} \qquad \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}\]

\[\int \sin^2 x\,dx = \int\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\]

\[\int \cos^2 x\,dx = \int\frac{1+\cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\]

أمثلة

تطبيقات

مثال 1 — تعويض مع sin

\[\int \sin(3x)\,dx\]

نعوّض \(u = 3x\)، فـ \(du = 3\,dx\) أي \(dx = \dfrac{du}{3}\): \[\int \sin u\cdot\frac{du}{3} = -\frac{1}{3}\cos u + C = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C\]

مثال 2 — sin³x بالهوية

\[\int \sin^3 x\,dx\]

نكتب \(\sin^3 x = \sin x\cdot\sin^2 x = \sin x(1-\cos^2 x)\)، ثم نعوّض \(u = \cos x\)، \(du = -\sin x\,dx\): \[\int \sin x(1-\cos^2 x)\,dx = -\int(1-u^2)\,du = -u + \frac{u^3}{3} + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C\]

مثال 3 — تكامل محدود

\[\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx\]

\[\bigl[\sin x\bigr]_0^{\pi/2} = \sin\tfrac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1\]

مثال 4 — \(\cos^2 x\) بتخفيض الأس

\[\int_0^{\pi} \cos^2 x\,dx\]

\[\int_0^{\pi}\frac{1+\cos 2x}{2}\,dx = \left[\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 = \frac{\pi}{2}\]

1️⃣ \(\int\sin x\,dx = -\cos x+C\)  ،  \(\int\cos x\,dx = \sin x+C\)

2️⃣ \(\int\tan x\,dx = -\ln|\cos x|+C\) — مشتقة المقام في البسط

3️⃣ لتكامل \(\sin^2 x\) أو \(\cos^2 x\) استخدم هوية المضاعف أولاً

4️⃣ للأس الفردي \(\sin^{2k+1}x\): افصل \(\sin x\) واستخدم \(\sin^2 x = 1-\cos^2 x\) ثم عوّض

5️⃣ مع الزاوية المركبة \(\sin(ax)\): التعويض \(u=ax\) يعطي معامل \(\tfrac{1}{a}\)