درس 2

قاعدة القوة Power Rule

قاعدة القوة هي أكثر قواعد التكامل استخداماً. تُمكّننا من إيجاد تكامل أي دالة أسية من الشكل \(x^n\) بخطوة واحدة مباشرة. وهي عكس قاعدة القوة في التفاضل تماماً.

قاعدة
قاعدة القوة للتكامل
إذا كان \(n \neq -1\)، فإن:
\[\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]
حيث \(C\) هو ثابت التكامل، ويُضاف دائماً في التكامل غير المحدود.
خطوات
كيف تُطبّق القاعدة؟
1 زِد الأس بمقدار 1:   \(n \;\longrightarrow\; n+1\)
2 اقسم على الأس الجديد:   \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)
3 أضف ثابت التكامل \(C\)
أمثلة
تطبيقات قاعدة القوة
0 2 x² x y
مثال 1 — تكامل غير محدود: \[\int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C\]
0 3 f(x)=1 x y المساحة = 3
مثال 2 — الأس صفر \((x^0 = 1)\): \[\int 1 \, dx = \int x^0 \, dx = \frac{x^1}{1} + C = x + C\]
1 4 √x x y
مثال 3 — كسري \((\sqrt{x} = x^{1/2})\): \[\int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C\]
1️⃣ زِد الأس بواحد ثم اقسم عليه: \(\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
2️⃣ القاعدة تنطبق على الأسس الصحيحة والكسرية والسالبة — ما عدا \(n = -1\)
3️⃣ أضف دائماً ثابت التكامل \(C\) في التكامل غير المحدود
4️⃣ للتحقق: اشتق النتيجة — يجب أن تحصل على الدالة الأصلية

جرّب بنفسك

اختبار الدرس

1
02xyx³
ما ناتج التكامل التالي؟
∫ x³ dx
2
04xy√x
ما ناتج التكامل التالي؟
∫ √x dx
3
05xyf(x)=1المساحة = 5
أيّ العبارات التالية يُمثّل تكامل الدالة f(x) = 1؟
∫ 1 dx = ?
قاعدة القوة Power Rule – التكامل: أساسيات ومفاهيم | أكاديمية موسى