درس 23
الزاوية المماسية و نظرية قطع الوتر
الزاوية المماسية
الزاوية المماسية زاوية تَنتُج من تقاطع مماس وقاطع (أو وتر) عند نقطة التماس.
قياسها يساوي نصف قياس القوس المقابل لها.
m∠ABC = (1/2) × m(arc BC)
نظرية قطع الوتر
إذا تقاطع وتران داخل الدائرة عند نقطة، فإن حاصل ضرب جزأي أحد الوترين يساوي حاصل ضرب جزأي الوتر الآخر.
AB × BC = DB × BE
لماذا؟
في الزاوية المماسية، يمكن إثبات أن قياسها نصف القوس المقابل بمقارنتها بزاوية محيطية مرسومة على القوس نفسه. أما في نظرية قطع الوتر، فإن المثلثين △ABD و △EBC متشابهان (زاويتان محيطيتان تقابلان القوس نفسه + زاويتان متقابلتان بالرأس)، فتتناسب الأضلاع: AB/DB = EB/CB، ومنه AB × BC = DB × BE.
جرّب بنفسك
اختبار الدرس
1
في الشكل، BA مماس للدائرة عند B، و BC وتر. إذا كان قياس القوس BC = 80°، فما قياس الزاوية المماسية ∠ABC؟
2
في الشكل، BA مماس للدائرة عند B، و BC وتر. إذا كانت الزاوية المماسية ∠ABC = 35°، فما قياس القوس BC المقابل لها؟
3
في الشكل، الوتران AC و ED يتقاطعان داخل الدائرة عند النقطة B. إذا كان AB = 4، BC = 6، DB = 3، فما طول BE؟