قاعدة جمع الأعداد المتتالية (المتتاليات الحسابية)

ما هي المتتالية؟
المتتالية هي قائمة من الأعداد مرتّبة وَفق نمط معيّن، ويُسمّى كل عددٍ فيها حدّاً.
المتتالية الحسابية هي متتالية يكون الفرق بين كل حدٍّ والذي قبله ثابتاً، ويُسمّى هذا الفرق الثابت أساس المتتالية (د). $$\text{الحدّ النوني}=\text{الحدّ الأول}+(\text{ن}-\mathrm{١})\times \text{د}$$

القاعدة
مجموع حدود متتالية حسابية = عدد الحدود مضروباً في متوسط (الحد الأول والحد الأخير): $$\text{المجموع}=\frac{\text{عدد الحدود}\times (\text{الحد الأول}+\text{الحد الأخير})}{\mathrm{٢}}$$ $$\text{عدد الحدود}=\frac{(\text{الأخير}-\text{الأول})}{\text{د}}+\mathrm{١}$$

الحل
أولاً نوجد عدد الحدود: $$\text{عدد الحدود}=(\text{الأخير}-\text{الأول})+\mathrm{١}=(\mathrm{٢٠}-\mathrm{٥})+\mathrm{١}=\mathrm{١٦}$$ ثم نطبّق قانون المجموع: $$\text{المجموع}=\frac{\text{عدد الحدود}\times (\text{الأول}+\text{الأخير})}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١٦}\times (\mathrm{٥}+\mathrm{٢٠})}{\mathrm{٢}}=\mathrm{٢٠٠}$$

الحل
عدد الحدود = ٤٩ (لأنها تبدأ من ١)، ثم نطبّق قانون المجموع: $$\text{المجموع}=\frac{\text{عدد الحدود}\times (\text{الأول}+\text{الأخير})}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٤٩}\times (\mathrm{١}+\mathrm{٤٩})}{\mathrm{٢}}=\mathrm{١٢٢٥}$$

الحل
أولاً نوجد عدد الحدود: $$\text{عدد الحدود}=(\text{الأخير}-\text{الأول})+\mathrm{١}=(\mathrm{٣٠}-\mathrm{١٠})+\mathrm{١}=\mathrm{٢١}$$ ثم نطبّق قانون المجموع: $$\text{المجموع}=\frac{\text{عدد الحدود}\times (\text{الأول}+\text{الأخير})}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٢١}\times (\mathrm{١٠}+\mathrm{٣٠})}{\mathrm{٢}}=\mathrm{٤٢٠}$$

الحل
الأساس د = ٢ (زوجية). أولاً نوجد عدد الحدود: $$\text{عدد الحدود}=\frac{(\text{الأخير}-\text{الأول})}{\text{د}}+\mathrm{١}=\frac{(\mathrm{٢٠}-\mathrm{٦})}{\mathrm{٢}}+\mathrm{١}=\mathrm{٨}$$ ثم نطبّق قانون المجموع: $$\text{المجموع}=\frac{\text{عدد الحدود}\times (\text{الأول}+\text{الأخير})}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٨}\times (\mathrm{٦}+\mathrm{٢٠})}{\mathrm{٢}}=\mathrm{١٠٤}$$

الحل
الأساس د = ٢ (فردية). أولاً نوجد عدد الحدود: $$\text{عدد الحدود}=\frac{(\text{الأخير}-\text{الأول})}{\text{د}}+\mathrm{١}=\frac{(\mathrm{٢٥}-\mathrm{٥})}{\mathrm{٢}}+\mathrm{١}=\mathrm{١١}$$ ثم نطبّق قانون المجموع: $$\text{المجموع}=\frac{\text{عدد الحدود}\times (\text{الأول}+\text{الأخير})}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١١}\times (\mathrm{٥}+\mathrm{٢٥})}{\mathrm{٢}}=\mathrm{١٦٥}$$