الزاوية بين متجهين
الزاوية بين متجهين
إذا كانت \(\theta\) هي الزاوية بين متجهين غير صفريين \(\mathbf{a}\) و \(\mathbf{b}\)، فإن:
\[\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}\]
حيث \(0° \leq \theta \leq 180°\)، و \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) هو الضرب الداخلي للمتجهات، و \(|\mathbf{a}|\) و \(|\mathbf{b}|\) هما طول كل متجه.
لحساب الزاوية \(\theta\) بالدرجات:
\[\theta = \arccos\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}\right)\]
اشتقاق الصيغة
نستخدم قانون جيب التمام على المثلث الذي أضلاعه \(\mathbf{a}\)، \(\mathbf{b}\)، و \(\mathbf{b} - \mathbf{a}\):
\[|\mathbf{b} - \mathbf{a}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)\]
بتطبيق خاصية الضرب الداخلي:
\[(\mathbf{b} - \mathbf{a}) \cdot (\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\]
بمساواة العبارتين:
\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)\]
بتبسيط (لأن \(|\mathbf{a}|^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}\)):
\[-2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)\]
\[\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\]
حالات خاصة
• إذا كان \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0\)، فإن \(\theta < 90°\) (الزاوية حادة)
• إذا كان \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\)، فإن \(\theta = 90°\) (المتجهان متعامدان)
• إذا كان \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0\)، فإن \(\theta > 90°\) (الزاوية منفرجة)
• إذا كان \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\)، فإن \(\theta = 0°\) (المتجهان متوازيان في نفس الاتجاه)
أمثلة محلولة
مثال 1: احسب الزاوية بين المتجهات \(\mathbf{a} = \langle 3, 0 \rangle\) و \(\mathbf{b} = \langle 0, 4 \rangle\).
\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3)(0) + (0)(4) = 0\)
\(|\mathbf{a}| = 3, \quad |\mathbf{b}| = 4\)
\[\cos(\theta) = \frac{0}{3 \cdot 4} = 0 \implies \theta = 90°\]
مثال 2: احسب الزاوية بين المتجهات \(\mathbf{u} = \langle 1, 1 \rangle\) و \(\mathbf{v} = \langle 1, 0 \rangle\).
\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (1)(1) + (1)(0) = 1\)
\(|\mathbf{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \quad |\mathbf{v}| = 1\)
\[\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \theta = 45°\]
مثال 3: احسب الزاوية بين المتجهات \(\mathbf{p} = \langle 2, 2 \rangle\) و \(\mathbf{q} = \langle -1, 1 \rangle\).
\(\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = (2)(-1) + (2)(1) = -2 + 2 = 0\)
\[\cos(\theta) = \frac{0}{|p| \cdot |q|} = 0 \implies \theta = 90°\]
تطبيقات هندسية
معرفة الزاوية بين المتجهات مفيدة في:
• تحديد التوازي والتعامد بين الخطوط والأسطح
• حساب الإسقاط العمودي (projection) لمتجه على متجه آخر
• تطبيقات في الفيزياء: حساب الشغل (work) بين قوة واتجاه الحركة
• تطبيقات في الهندسة: قياس الزوايا بين الأسطح والمستويات
جرّب بنفسك
اختبار الدرس