الضرب الداخلي لمتجهين

الضرب الداخلي (أو الضرب النقطي) للمتجهات $\mathbf{a} = \langle a_1, a_2 \rangle$ و $\mathbf{b} = \langle b_1, b_2 \rangle$ يُعرّف بالصيغة:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

ملاحظة مهمة: ناتج الضرب الداخلي هو عدد حقيقي (عددي)، وليس متجهاً. هذا يختلف عن جمع المتجهات وضربها في عدد.

المتجهان المتعامدان

يقال إن المتجهين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ متعامدان (أو متعاموان، perpendicular) إذا وفقط إذا كان ضربهما الداخلي يساوي صفراً:

\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \iff \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0

هذا الشرط يُستخدم للتحقق من تعامد متجهين دون الحاجة للقياس الهندسي.

• الضرب الداخلي تبديلي: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$

• الضرب الداخلي توزيعي على الجمع: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$

• إذا ضُرب أحد المتجهات في عدد حقيقي $k$ : $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

• الضرب الداخلي للمتجه مع نفسه: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = a_1^2 + a_2^2 = |\mathbf{a}|^2$

مثال 1: احسب الضرب الداخلي للمتجهات $\mathbf{a} = \langle 3, 2 \rangle$ و $\mathbf{b} = \langle 1, 4 \rangle$ .

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3)(1) + (2)(4) = 3 + 8 = 11

مثال 2: تحقق من تعامد المتجهات $\mathbf{u} = \langle 2, -3 \rangle$ و $\mathbf{v} = \langle 3, 2 \rangle$ .

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (2)(3) + (-3)(2) = 6 - 6 = 0

بما أن الضرب الداخلي يساوي صفراً، فإن المتجهين متعامدان.

مثال 3: احسب طول المتجه $\mathbf{w} = \langle -4, 3 \rangle$ باستخدام الضرب الداخلي.

|\mathbf{w}| = \sqrt{\mathbf{w} \cdot \mathbf{w}} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

الضرب الداخلي يرتبط بالزاوية $\theta$ بين المتجهين:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta)

لذا عندما تكون الزاوية $\theta = 90°$ (متعامد)، يصبح $\cos(90°) = 0$ ، وبالتالي $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ .