الزاوية بين متجهين

إذا كانت $\theta$ هي الزاوية بين متجهين غير صفريين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ ، فإن:

\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}

حيث $0° \leq \theta \leq 180°$ ، و $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ هو الضرب الداخلي للمتجهات، و $|\mathbf{a}|$ و $|\mathbf{b}|$ هما طول كل متجه.

لحساب الزاوية $\theta$ بالدرجات:

\theta = \arccos\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}\right)

اشتقاق الصيغة

نستخدم قانون جيب التمام على المثلث الذي أضلاعه $\mathbf{a}$ ، $\mathbf{b}$ ، و $\mathbf{b} - \mathbf{a}$ :

|\mathbf{b} - \mathbf{a}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)

بتطبيق خاصية الضرب الداخلي:

(\mathbf{b} - \mathbf{a}) \cdot (\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}

بمساواة العبارتين:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)

بتبسيط (لأن $|\mathbf{a}|^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}$ ):

-2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)

\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}

• إذا كان $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0$ ، فإن $\theta < 90°$ (الزاوية حادة)

• إذا كان $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ ، فإن $\theta = 90°$ (المتجهان متعامدان)

• إذا كان $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0$ ، فإن $\theta > 90°$ (الزاوية منفرجة)

• إذا كان $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$ ، فإن $\theta = 0°$ (المتجهان متوازيان في نفس الاتجاه)

مثال 1: احسب الزاوية بين المتجهات $\mathbf{a} = \langle 3, 0 \rangle$ و $\mathbf{b} = \langle 0, 4 \rangle$ .

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3)(0) + (0)(4) = 0$

$|\mathbf{a}| = 3, \quad |\mathbf{b}| = 4$

\cos(\theta) = \frac{0}{3 \cdot 4} = 0 \implies \theta = 90°

مثال 2: احسب الزاوية بين المتجهات $\mathbf{u} = \langle 1, 1 \rangle$ و $\mathbf{v} = \langle 1, 0 \rangle$ .

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (1)(1) + (1)(0) = 1$

$|\mathbf{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \quad |\mathbf{v}| = 1$

\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \theta = 45°

مثال 3: احسب الزاوية بين المتجهات $\mathbf{p} = \langle 2, 2 \rangle$ و $\mathbf{q} = \langle -1, 1 \rangle$ .

$\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = (2)(-1) + (2)(1) = -2 + 2 = 0$

\cos(\theta) = \frac{0}{|p| \cdot |q|} = 0 \implies \theta = 90°

معرفة الزاوية بين المتجهات مفيدة في:

• تحديد التوازي والتعامد بين الخطوط والأسطح

• حساب الإسقاط العمودي (projection) لمتجه على متجه آخر

• تطبيقات في الفيزياء: حساب الشغل (work) بين قوة واتجاه الحركة

• تطبيقات في الهندسة: قياس الزوايا بين الأسطح والمستويات