درس 8

الضرب الداخلي في الفضاء ثلاثي الأبعاد

الضرب الداخلي في الفضاء ثلاثي الأبعاد

تمديد مفهوم الضرب الداخلي من المستوى الثنائي الأبعاد إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد. إذا كان لدينا متجهان $\mathbf{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ و $\mathbf{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$ ، فإن الضرب الداخلي يُعرّف بـ:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

الفكرة الأساسية هي نفسها في البعد الثاني: نضرب المركبات المتناظرة ونجمع النتائج للحصول على عدد حقيقي (عددي).

المتجهات المتعامدة في الفضاء

كما هو الحال في المستوى الثنائي الأبعاد، يقال إن المتجهين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ في الفضاء ثلاثي الأبعاد متعامدان إذا وفقط إذا كان ضربهما الداخلي يساوي صفراً:

\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \iff \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0

هذا الشرط يبقى صحيحاً بغض النظر عن عدد الأبعاد (ثنائي أو ثلاثي أو أكثر).

حساب طول المتجه في الفضاء

طول متجه ثلاثي الأبعاد $\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ يُحسب باستخدام الضرب الداخلي:

|\mathbf{v}| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}

هذا امتداد طبيعي لنظرية فيثاغورس إلى ثلاثة أبعاد.

خصائص الضرب الداخلي في الفضاء

الخصائص التالية تبقى صحيحة في الفضاء ثلاثي الأبعاد:

• التبديلية: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$

• التوزيعية: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$

• الضرب في عدد حقيقي: $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

• الضرب مع نفسه: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2$

الزاوية بين المتجهات في الفضاء

صيغة الزاوية بين متجهين تبقى نفسها في الفضاء ثلاثي الأبعاد:

\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}

حيث $0° \leq \theta \leq 180°$ .

أمثلة محلولة

مثال 1: احسب الضرب الداخلي للمتجهات $\mathbf{a} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ و $\mathbf{b} = \langle 4, 5, 6 \rangle$ .

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 4 + 10 + 18 = 32

مثال 2: تحقق من تعامد المتجهات $\mathbf{u} = \langle 1, -1, 1 \rangle$ و $\mathbf{v} = \langle 1, 1, 0 \rangle$ .

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(0) = 1 - 1 + 0 = 0

بما أن الضرب الداخلي يساوي صفراً، فإن المتجهين متعامدان.

مثال 3: احسب طول المتجه $\mathbf{w} = \langle 1, 2, 2 \rangle$ .

|\mathbf{w}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3

تطبيقات الضرب الداخلي في الفضاء

• الفيزياء: حساب الشغل (work) بين قوة ثلاثية الأبعاد واتجاه الحركة

• الهندسة: تحديد التعامد بين خطوط ومستويات في الفضاء

• رسومات الحاسوب: حساب الإضاءة والظلال باستخدام الزوايا بين الأسطح والضوء

• الهندسة الخطية: إسقاط المتجهات على بعضها (projection) في الفضاء متعدد الأبعاد

✏️

جرّب بنفسك

📝اختبار الدرس

اختبار الضرب الداخلي في الفضاء ثلاثي الأبعاد

1 / 6

احسب الضرب الداخلي للمتجهات a = ⟨1, 2, 3⟩ و b = ⟨4, 5, 6⟩

الدرس التالي

الضرب الاتجاهي (حاصل الضرب الخارجي)

ودّك تثبّت فهمك؟ جرّب اختبار الدرس قبل المتابعة 👆

الزاوية بين متجهين الضرب الاتجاهي (حاصل الضرب الخارجي)