الضرب الاتجاهي (حاصل الضرب الخارجي)

الضرب الاتجاهي (Cross Product) هو عملية على متجهين في الفضاء ثلاثي الأبعاد ينتج عنها متجه جديد. إذا كان:

\mathbf{a} = a_1 \mathbf{i} + a_2 \mathbf{j} + a_3 \mathbf{k}, \quad \mathbf{b} = b_1 \mathbf{i} + b_2 \mathbf{j} + b_3 \mathbf{k}

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2)\mathbf{i} - (a_1 b_3 - a_3 b_1)\mathbf{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\mathbf{k}

أو بصيغة المحدد (Determinant):

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

الخصائص الهندسية

المتجه الناتج: المتجه $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ متعامد على كل من $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ .

الاتجاه: يُحدّد الاتجاه بقاعدة اليد اليمنى (Right-Hand Rule). إذا وضعت أصابع يدك اليمنى في اتجاه $\mathbf{a}$ وثنيتها نحو $\mathbf{b}$ ، فإبهامك يشير إلى اتجاه $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ .

المقدار: طول المتجه الناتج يساوي:

|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \sin(\theta)

حيث $\theta$ هي الزاوية بين المتجهين.

خصائص الضرب الاتجاهي

• عدم التبديلية: $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$

• التوزيعية: $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$

• الضرب في عدد حقيقي: $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$

• حاصل الضرب الخارجي مع نفسه: $\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$ (متجه صفري)

• متجهات متوازية: إذا كان $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ ، فإن المتجهات متوازية

حساب الضرب الاتجاهي

لحساب $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ حيث $\mathbf{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ و $\mathbf{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$ :

a_1\text{-component} = a_2 b_3 - a_3 b_2

a_2\text{-component} = -(a_1 b_3 - a_3 b_1)

a_3\text{-component} = a_1 b_2 - a_2 b_1

أمثلة محلولة

مثال 1: احسب $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ حيث $\mathbf{a} = \langle 1, 0, 0 \rangle$ و $\mathbf{b} = \langle 0, 1, 0 \rangle$ .

\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \langle (0)(0) - (0)(1), -[(1)(0) - (0)(0)], (1)(1) - (0)(0) \rangle = \langle 0, 0, 1 \rangle\]

مثال 2: احسب $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ حيث $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ و $\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle$ .

i\text{-component} = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3

\[j\text{-component} = -[(1)(6) - (3)(4)] = -(6 - 12) = 6\]

k\text{-component} = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle$

مثال 3: تحقق من أن $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ متعامد على $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ في المثال السابق.

(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{u} = \langle -3, 6, -3 \rangle \cdot \langle 1, 2, 3 \rangle = -3 + 12 - 9 = 0

(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle \cdot \langle 4, 5, 6 \rangle = -12 + 30 - 18 = 0

التطبيقات

• الفيزياء: حساب عزم الدوران (Torque) $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$

• حساب المساحة: مساحة متوازي الأضلاع المكوّن من متجهين = $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$

• الهندسة: إيجاد متجه عمودي على مستوى معطى

• رسومات الحاسوب: حساب الأسطح والإضاءة في المشاهد ثلاثية الأبعاد

الضرب الاتجاهي (حاصل الضرب الخارجي)