الضرب القياسي الثلاثي

الضرب القياسي الثلاثي (Scalar Triple Product) هو العملية التي تدمج الضرب الاتجاهي والضرب الداخلي. إذا كانت لدينا ثلاثة متجهات $\mathbf{t} = \langle t_1, t_2, t_3 \rangle$ ، $\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle$ ، و $\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ ، فإن:

\mathbf{t} \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = \begin{vmatrix} t_1 & t_2 & t_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

النتيجة هي عدد حقيقي (scalar)، وليس متجهاً. هذه الصيغة تستخدم المحدد (determinant) للمصفوفة $3 \times 3$ .

الخصائص الهندسية

حجم متوازي السطوح: القيمة المطلقة للضرب القياسي الثلاثي تمثل حجم متوازي السطوح (parallelepiped) الذي تشكله الثلاثة متجهات:

V = |\mathbf{t} \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v})|

الرقم الموقع (Sign): إذا كانت القيمة موجبة، فإن الثلاثة متجهات تشكل نظاماً موجباً (بناءً على قاعدة اليد اليمنى). إذا كانت سالبة، فهو نظام سالب.

المتجهات المتحاذية (Coplanar): إذا كان $\mathbf{t} \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = 0$ ، فإن الثلاثة متجهات متحاذية (تقع في نفس المستوى).

خصائص الضرب القياسي الثلاثي

• التبادل الدوري: $\mathbf{t} \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{t}) = \mathbf{v} \cdot (\mathbf{t} \times \mathbf{u})$

• عدم التبديل: $\mathbf{t} \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = -\mathbf{t} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{u})$

• العلاقة بالمحدد: قيمة المحدد تساوي الضرب القياسي الثلاثي مباشرة

• مع المتجهات المتوازية: إذا كان أي من المتجهات الثلاثة متوازياً مع الآخر، فإن الضرب القياسي الثلاثي يساوي صفراً

حساب المحدد

لحساب محدد مصفوفة $3 \times 3$ ، نستخدم التوسع على الصف الأول:

\begin{vmatrix} t_1 & t_2 & t_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = t_1 \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} - t_2 \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} + t_3 \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}

حيث كل محدد $2 \times 2$ يُحسب كـ: $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

أمثلة محلولة

مثال 1: احسب الضرب القياسي الثلاثي للمتجهات $\mathbf{t} = \langle 1, 0, 0 \rangle$ ، $\mathbf{u} = \langle 0, 1, 0 \rangle$ ، و $\mathbf{v} = \langle 0, 0, 1 \rangle$ .

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 0 + 0 = 1

مثال 2: احسب الضرب القياسي الثلاثي للمتجهات $\mathbf{t} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ ، $\mathbf{u} = \langle 4, 5, 6 \rangle$ ، و $\mathbf{v} = \langle 7, 8, 10 \rangle$ .

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{vmatrix} = 1(5 \cdot 10 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 10 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)

= 1(50 - 48) - 2(40 - 42) + 3(32 - 35)

= 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3

مثال 3: تحقق من تحاذي المتجهات $\mathbf{a} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ ، $\mathbf{b} = \langle 2, 4, 6 \rangle$ ، و $\mathbf{c} = \langle 1, 0, 0 \rangle$ .