درس 16

الصورة القطبية لعدد مركب

الصورة القطبية لعدد مركب

يمكن كتابة العدد المركب بصيغتين مختلفتين:

الصيغة الديكارتية (الجبرية): $z = a + bi$ حيث $a$ و $b$ أعداد حقيقية

الصيغة القطبية (الحطية): $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ أو $z = r \text{cis}(\theta)$ حيث $r$ هو المقياس و $\theta$ هو الحجة

العلاقة بين الصيغتين

z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\cos\theta + ir\sin\theta = a + bi

حيث:

• $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ (المقياس أو النصف قطر)

• $a = r\cos\theta$ (الجزء الحقيقي)

• $b = r\sin\theta$ (الجزء التخيلي)

• $\theta = \arg(z)$ (الحجة أو السعة - الزاوية من المحور الحقيقي الموجب)

إيجاد الحجة (الزاوية)

لإيجاد الزاوية $\theta$ ، نأخذ في الاعتبار موقع العدد المركب في المستوى:

• عندما $a > 0$ : $\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$

• عندما $a < 0$ : $\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) + \pi$ أو $+ 180°$

• عندما $a = 0$ و $b > 0$ : $\theta = \frac{\pi}{2}$ أو $90°$

• عندما $a = 0$ و $b < 0$ : $\theta = -\frac{\pi}{2}$ أو $270°$

أمثلة

مثال 1: حول $z = 1 + i$ إلى الصيغة القطبية.

r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = 45°

z = \sqrt{2}(\cos 45° + i\sin 45°)

مثال 2: حول $z = -1 + i\sqrt{3}$ إلى الصيغة القطبية.

r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2

\theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right) + 180° = -60° + 180° = 120°

z = 2(\cos 120° + i\sin 120°)

فوائد الصيغة القطبية

• الضرب: إذا $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$ و $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ ، فإن $z_1 z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$

• القسمة: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]$

• الأس: $z^n = r^n[\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)]$ (نظرية ديموافر)

✏️

جرّب بنفسك

📝اختبار الدرس

اختبار الصورة القطبية لعدد مركب

1 / 6

حول العدد المركب z = 3 + 4i إلى الصيغة القطبية.

القيمة المطلقة (المقياس) لعدد مركب