الضرب الداخلي في الفضاء ثلاثي الأبعاد
الضرب الداخلي في الفضاء ثلاثي الأبعاد
تمديد مفهوم الضرب الداخلي من المستوى الثنائي الأبعاد إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد. إذا كان لدينا متجهان \(\mathbf{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle\) و \(\mathbf{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle\)، فإن الضرب الداخلي يُعرّف بـ:
\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\]
الفكرة الأساسية هي نفسها في البعد الثاني: نضرب المركبات المتناظرة ونجمع النتائج للحصول على عدد حقيقي (عددي).
المتجهات المتعامدة في الفضاء
كما هو الحال في المستوى الثنائي الأبعاد، يقال إن المتجهين \(\mathbf{a}\) و \(\mathbf{b}\) في الفضاء ثلاثي الأبعاد متعامدان إذا وفقط إذا كان ضربهما الداخلي يساوي صفراً:
\[\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \iff \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\]
هذا الشرط يبقى صحيحاً بغض النظر عن عدد الأبعاد (ثنائي أو ثلاثي أو أكثر).
حساب طول المتجه في الفضاء
طول متجه ثلاثي الأبعاد \(\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle\) يُحسب باستخدام الضرب الداخلي:
\[|\mathbf{v}| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\]
هذا امتداد طبيعي لنظرية فيثاغورس إلى ثلاثة أبعاد.
خصائص الضرب الداخلي في الفضاء
الخصائص التالية تبقى صحيحة في الفضاء ثلاثي الأبعاد:
• التبديلية: \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}\)
• التوزيعية: \(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}\)
• الضرب في عدد حقيقي: \((k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\)
• الضرب مع نفسه: \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2\)
الزاوية بين المتجهات في الفضاء
صيغة الزاوية بين متجهين تبقى نفسها في الفضاء ثلاثي الأبعاد:
\[\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}\]
حيث \(0° \leq \theta \leq 180°\).
أمثلة محلولة
مثال 1: احسب الضرب الداخلي للمتجهات \(\mathbf{a} = \langle 1, 2, 3 \rangle\) و \(\mathbf{b} = \langle 4, 5, 6 \rangle\).
\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 4 + 10 + 18 = 32\]
مثال 2: تحقق من تعامد المتجهات \(\mathbf{u} = \langle 1, -1, 1 \rangle\) و \(\mathbf{v} = \langle 1, 1, 0 \rangle\).
\[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(0) = 1 - 1 + 0 = 0\]
بما أن الضرب الداخلي يساوي صفراً، فإن المتجهين متعامدان.
مثال 3: احسب طول المتجه \(\mathbf{w} = \langle 1, 2, 2 \rangle\).
\[|\mathbf{w}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\]
تطبيقات الضرب الداخلي في الفضاء
• الفيزياء: حساب الشغل (work) بين قوة ثلاثية الأبعاد واتجاه الحركة
• الهندسة: تحديد التعامد بين خطوط ومستويات في الفضاء
• رسومات الحاسوب: حساب الإضاءة والظلال باستخدام الزوايا بين الأسطح والضوء
• الهندسة الخطية: إسقاط المتجهات على بعضها (projection) في الفضاء متعدد الأبعاد
جرّب بنفسك
اختبار الدرس