الضرب الداخلي لمتجهين

الضرب الداخلي لمتجهين

الضرب الداخلي (أو الضرب النقطي) للمتجهات \(\mathbf{a} = \langle a_1, a_2 \rangle\) و \(\mathbf{b} = \langle b_1, b_2 \rangle\) يُعرّف بالصيغة:

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2\]

ملاحظة مهمة: ناتج الضرب الداخلي هو عدد حقيقي (عددي)، وليس متجهاً. هذا يختلف عن جمع المتجهات وضربها في عدد.

المتجهان المتعامدان

يقال إن المتجهين \(\mathbf{a}\) و \(\mathbf{b}\) متعامدان (أو متعاموان، perpendicular) إذا وفقط إذا كان ضربهما الداخلي يساوي صفراً:

\[\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \iff \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\]

هذا الشرط يُستخدم للتحقق من تعامد متجهين دون الحاجة للقياس الهندسي.

خصائص الضرب الداخلي

• الضرب الداخلي تبديلي: \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}\)

• الضرب الداخلي توزيعي على الجمع: \(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}\)

• إذا ضُرب أحد المتجهات في عدد حقيقي \(k\): \((k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\)

• الضرب الداخلي للمتجه مع نفسه: \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = a_1^2 + a_2^2 = |\mathbf{a}|^2\)

أمثلة محلولة

مثال 1: احسب الضرب الداخلي للمتجهات \(\mathbf{a} = \langle 3, 2 \rangle\) و \(\mathbf{b} = \langle 1, 4 \rangle\).

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3)(1) + (2)(4) = 3 + 8 = 11\]

مثال 2: تحقق من تعامد المتجهات \(\mathbf{u} = \langle 2, -3 \rangle\) و \(\mathbf{v} = \langle 3, 2 \rangle\).

\[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (2)(3) + (-3)(2) = 6 - 6 = 0\]

بما أن الضرب الداخلي يساوي صفراً، فإن المتجهين متعامدان.

مثال 3: احسب طول المتجه \(\mathbf{w} = \langle -4, 3 \rangle\) باستخدام الضرب الداخلي.

\[|\mathbf{w}| = \sqrt{\mathbf{w} \cdot \mathbf{w}} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\]

التفسير الهندسي

الضرب الداخلي يرتبط بالزاوية \(\theta\) بين المتجهين:

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta)\]

لذا عندما تكون الزاوية \(\theta = 90°\) (متعامد)، يصبح \(\cos(90°) = 0\)، وبالتالي \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\).