العمليات على المتجهات

جمع المتجهين

يتم جمع متجهين بجمع المركبات المتناظرة. إذا كان \(\mathbf{a} = \langle a_1, a_2 \rangle\) و \(\mathbf{b} = \langle b_1, b_2 \rangle\)، فإن:

\[\mathbf{a}+\mathbf{b}=\langle a_1+b_1,\;a_2+b_2\rangle\]

التفسير الهندسي: جمع متجهين يمثل بقاعدة متوازي الأضلاع. نضع المتجه الأول من الأصل، ثم نضع المتجه الثاني من نهاية الأول. الخط من الأصل إلى النقطة النهائية يمثل المتجه الناتج.

مثال: إذا كان \(\mathbf{a} = \langle 2,3 \rangle\) و \(\mathbf{b} = \langle 1,-1 \rangle\)، فإن \(\mathbf{a}+\mathbf{b} = \langle 3,2 \rangle\)

طرح المتجهين

يتم طرح متجهين بطرح المركبات المتناظرة:

\[\mathbf{a}-\mathbf{b}=\langle a_1-b_1,\;a_2-b_2\rangle\]

ملاحظة مهمة: \(\mathbf{a}-\mathbf{b} = \mathbf{a}+(-\mathbf{b})\)، حيث \(-\mathbf{b} = \langle -b_1,\;-b_2\rangle\)

مثال: إذا كان \(\mathbf{a} = \langle 4,2 \rangle\) و \(\mathbf{b} = \langle 1,5 \rangle\)، فإن \(\mathbf{a}-\mathbf{b} = \langle 3,-3 \rangle\)

الضرب في عدد حقيقي (الضرب القياسي)

يتم ضرب متجه في عدد حقيقي بضرب كل مركبة من مركبات المتجه في ذلك العدد:

\[k\mathbf{a}=\langle ka_1,\;ka_2\rangle\]

التأثير الهندسي:

• إذا كان \(k > 1\)، يتم مد (تكبير) المتجه
• إذا كان \(0 < k < 1\)، يتم ضغط (تصغير) المتجه
• إذا كان \(k < 0\)، يتم عكس اتجاه المتجه بالإضافة إلى التمدد أو الضغط
• إذا كان \(k = 0\)، ينتج عنه متجه صفري \(\langle 0,0 \rangle\)

مثال: إذا كان \(k = 3\) و \(\mathbf{a} = \langle 2,-1 \rangle\)، فإن \(3\mathbf{a} = \langle 6,-3 \rangle\)