درس 13

تحويل الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية

تحويل الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية

إذا كانت النقطة $P$ محددة في الإحداثيات القطبية بـ $(r, \theta)$ ، فإن إحداثياتها الديكارتية $(x, y)$ يمكن إيجادها باستخدام الدوال المثلثية.

صيغ التحويل

x = r \cos \theta \quad , \quad y = r \sin \theta

هذان التحويلان مشتقان من الدوال المثلثية في المثلث القائم الزاوية الذي تشكله النقطة والمحاور.

في المثلث القائم:

• الضلع المجاور للزاوية $\theta$ هو $x$ والوتر هو $r$ ، لذا: $\cos \theta = \frac{x}{r}$ ⇒ $x = r \cos \theta$

• الضلع المقابل للزاوية $\theta$ هو $y$ والوتر هو $r$ ، لذا: $\sin \theta = \frac{y}{r}$ ⇒ $y = r \sin \theta$

أمثلة

مثال 1: حول النقطة $(3, 30°)$ من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية.

x = 3 \cos(30°) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.598

y = 3 \sin(30°) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5

إذًا الإحداثيات الديكارتية هي $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, 1.5\right) \approx (2.598, 1.5)$

مثال 2: حول النقطة $(5, 90°)$ من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية.

x = 5 \cos(90°) = 5 \cdot 0 = 0

y = 5 \sin(90°) = 5 \cdot 1 = 5

إذًا الإحداثيات الديكارتية هي $(0, 5)$ — نقطة على المحور الموجب.

حالات خاصة

• عندما $\theta = 0°$ : النقطة تقع على المحور الموجب، فإن $x = r$ و $y = 0$

• عندما $\theta = 90°$ : النقطة تقع على المحور الموجب، فإن $x = 0$ و $y = r$

• عندما $\theta = 180°$ : النقطة تقع على المحور السالب، فإن $x = -r$ و $y = 0$

• عندما $\theta = 270°$ : النقطة تقع على المحور السالب، فإن $x = 0$ و $y = -r$

✏️

جرّب بنفسك

📝اختبار الدرس

اختبار تحويل الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية

1 / 6

حول النقطة P(4, 60°) من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية.

المسافة بين نقطتين في الإحداثيات القطبية