درس 9

نقطة الانفصال

نقطة الانفصال: يوجد في بعض الأحيان نقط انفصال في التمثيل البياني للدالّة النسبية، وتظهر هذه النقط على شكل فجوات في التمثيل البياني للدالّة؛ لأن الدالّة تكون غير معرّفة عند تلك النقاط ومُعرّفةً حولها.

مفهوم أساسي

نقطة الانفصال

التعبير اللفظي: إذا كانت f(x) = a(x)/b(x)، حيث b(x) ≠ 0، وكان x − c عاملًا مشتركًا بين a(x) و b(x)، فإنه توجد نقطة انفصال عندما x = c.

مثال:

f(x) = (x + 2)¹(x + 1)¹x + 1 = x + 2 , x ≠ −1
نقطة الانفصال هي: (−1, f(−1)) = (−1, 1)

مثال 3

التمثيل البياني لدالّة تتضمن نقطة انفصال

مثِّل الدالّة f(x) = x² − 16x − 4 بيانيًّا.

لاحظ أن مجال الدالّة هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا 4:

x² − 16x − 4 = (x + 4)¹(x − 4)¹x − 4 = x + 4

لذا فإن التمثيل البياني للدالّة f(x) = (x² − 16)/(x − 4) هو نفسه التمثيل البياني للدالّة f(x) = x + 4، مع وجود فجوة في التمثيل البياني عندما x = 4، أي عند النقطة (4, 8):

⚠️ تنبيه — فجوات التمثيل البياني: تذكّر أن وجود عامل مشترك بين البسط والمقام يدل على وجود فجوة في التمثيل البياني للدالّة.

1️⃣ عامل مشترك (x − c) بين البسط والمقام ← نقطة انفصال (فجوة) عند x = c، وليس خط تقارب

2️⃣ إحداثيا الفجوة: عوّض c في الصورة المبسّطة — النقطة (c, f(c))

3️⃣ مثّل الدالّة المبسّطة ثم ضع دائرة مفرّغة عند الفجوة

اختبار الدرس

1

توجد نقطة انفصال (فجوة) في التمثيل البياني للدالّة النسبية f(x) = a(x)/b(x) عندما:

2

ما نقطة الانفصال للدالّة f(x) = (x + 2)(x + 1)x + 1؟

3

مثّلت الدالّة f(x) = x² − 16x − 4 أعلاه. ما إحداثيا الفجوة؟

4

ما نقطة الانفصال للدالّة f(x) = x² + 4x − 5x + 5؟

5

عند أي قيم x توجد نقاط انفصال للدالّة f(x) = x³ + 2x² − 9x − 18x² − 9؟

6

للدالّة f(x) = x − 2x² − 4، أيّ العبارات صحيحة؟