كيف نفهم الاحتمال المشروط و الاحتمال غير المشروط

الاحتمال المشروط: مثال السيارات

الموضوع: كيف تغير الشروط من الاحتمالات

المفاهيم: الاحتمال المشروط، فضاء العينة المحصور، تأثير الشروط

الهدف: فهم كيف يمكن للشرط أن يزيد أو يقلل أو يلغي الاحتمال

المقدمة

أسئلة الاحتمالات شبيهة بالعقود: لازم ندقق في كل تفاصيلها

لما نقرأ أسئلة الاحتمالات، فهي شبيهة بالعقود. لازم ندقّق في كل تفاصيلها.

السبب:
كل جملة قد تزيد من الاحتمال أو تنقص من الاحتمال، أو حتى تلغيه نهائياً!

في هذا الدرس سنرى مثالاً عملياً يوضح كيف أن إضافة شرط (معلومة) يغير الاحتمالات بشكل كبير.

ملاحظة مهمة:
• الشرط يحصر فضاء العينة
• قد يزيد الاحتمال (يجعله أكبر)
• قد يقلل الاحتمال (يجعله أصغر)
• قد يلغي الاحتمال تماماً (يصبح صفر)

الشرط يمكن أن يزيد أو يقلل أو يلغي الاحتمال

1 المثال: سحب على السيارات

4 سيارات: 2 تويوتا و 2 فورد

وصف المثال

لنفترض أن عندنا أربعة سيارات وعندنا سحب على هذه الأربعة سيارات:

• سيارتين من تويوتا
• سيارتين من فورد

المجموع: 4 سيارات

طريقة السحب:
• عندنا 4 ورقات فقط
• كل ورقة فيها اسم واحدة من السيارات الأربعة
• جبنا شخصاً وطلبنا منه يسحب ورقة واحدة

الاحتمالات بدون شروط

الآن لم نذكر أي احتمال مشروط. قلنا: اسحب!

السؤال 1: ما احتمال أنه يحصل على تويوتا؟

عندنا اثنين تويوتا من فضاء العينة (الاحتمالات كاملة) = 4

P(\text{تويوتا}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

السؤال 2: ما احتمال أنه يحصل على فورد؟

عندنا اثنين فورد من فضاء العينة = 4

P(\text{فورد}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

النتيجة:
50% احتمال تويوتا، 50% احتمال فورد

بدون شروط: P(تويوتا) = P(فورد) = 1/2

2 تفصيل أكثر: حجم السيارات

كل علامة لها سيارة صغيرة وسيارة كبيرة

التفاصيل الجديدة

نفترض الآن أن:

تويوتا:
• تويوتا صغيرة (1 سيارة)
• تويوتا كبيرة (1 سيارة)

فورد:
• فورد صغيرة (1 سيارة)
• فورد كبيرة (1 سيارة)

المجموع: 4 سيارات بأحجام مختلفة

الاحتمالات بدون شروط

الآن لو قلنا:

ما احتمالية أنه يحصل على تويوتا صغيرة؟

ما عندنا إلا سيارة واحدة تويوتا صغيرة من أصل 4

P(\text{تويوتا صغيرة}) = \frac{1}{4}

نفس الشيء لو قلنا:
• P(تويوتا كبيرة) = 1/4
• P(فورد صغيرة) = 1/4
• P(فورد كبيرة) = 1/4

ملاحظة:
إلى الآن ما عندنا احتمال مشروط!
كل سيارة لها احتمال متساوٍ = 1/4

بدون شروط: كل سيارة محددة لها احتمال 1/4

3 إضافة الشرط: الاحتمال يزداد

عندما نعلم أن السيارة تويوتا

السؤال المشروط

ولكن لو قلنا:

ما احتمالية أنه يحصل على تويوتا صغيرة، علماً بأن السيارة المسحوبة تويوتا؟

إضافة الشرط:
أضفنا عبارة "علماً بأن السيارة المطلوبة أو المسحوبة تويوتا"

إحنا الآن أكدنا أنه تويوتا!
طلع من عندنا احتمالات الفورد نهائياً!

الحساب

الآن الاحتمال سيصبح:

صار عندنا فضاء العينة = 2 فقط (تويوتا صغيرة وتويوتا كبيرة)

• التويوتا الصغيرة: 1
• التويوتا الكبيرة: 1
• المجموع: 2

P(\text{تويوتا صغيرة}|\text{تويوتا}) = \frac{1}{2}

النتيجة:

الاحتمال ارتفع من 1/4 إلى 1/2!

الشرط حصر فضاء العينة من 4 سيارات إلى سيارتين فقط (التويوتات)

الشرط زاد الاحتمال: من 1/4 إلى 1/2

4 شرط آخر: الاحتمال يصبح صفر

عندما نعلم أن السيارة فورد

سؤال مستحيل

لو قلنا:

ما احتمالية أنه يحصل على تويوتا كبيرة، علماً بأن الاختيار فورد؟

التناقض:
الآن إحنا أكدنا أن الاختيار فورد!

يعني أكيد ما راح يطلع معانا تويوتا!

P(\text{تويوتا كبيرة}|\text{فورد}) = 0

السبب:
لا يمكن أن تكون السيارة تويوتا وفورد في نفس الوقت!

النتيجة:
الاحتمال = صفر

الشرط ألغى الاحتمال نهائياً!

الخلاصة

هذا هو مفهوم الاحتمال المشروط:

نضيف جملة (شرط) تغير في الاحتمال:

1. يزيد الاحتمال:
P(تويوتا صغيرة | تويوتا) = 1/2 > 1/4

2. يقلل الاحتمال:
(في أمثلة أخرى يمكن أن يقلل)

3. يلغيه نهائياً:
P(تويوتا | فورد) = 0

الشرط ألغى الاحتمال: صار صفر لأنه مستحيل

الملخص النهائي

بدون شرط

P(تويوتا صغيرة)

↓
= 1/4
↓
من 4 سيارات

شرط يزيد

P(تويوتا صغيرة | تويوتا)

↓
= 1/2
↓
زاد الاحتمال

شرط يلغي

P(تويوتا | فورد)

↓
= 0
↓
ألغى الاحتمال

النقاط الأساسية:

أسئلة الاحتمالات تحتاج تدقيق في كل التفاصيل
الشرط يحصر فضاء العينة ويغير الاحتمالات
الشرط قد يزيد الاحتمال (كما في مثال التويوتا)
الشرط قد يلغي الاحتمال تماماً (يصبح صفر)