معدل التغير: فرق الصادات على فرق السينات وحسابه من نقطتين بأمثلة على المعدل الموجب والسالب

ما هو معدل التغير

من أهم المبادئ التي ستستمر معك في عالم الرياضيات: معدل التغير. وغالباً نقول: معدل التغير = التغير في ص ÷ التغير في س، أو نستخدم الجملة الشهيرة: فرق الصادات على فرق السينات.

مثال: جسم يتحرك بين نقطتين

عشان نفهم هذا الكلام، خلونا نتخيل أن عندنا جسماً على النقطة (٣ ، ١): الإحداثي السيني ٣ والصادي ١، يعني موجود هنا في هذه النقطة. الجسم هذا تحرك إلى النقطة (٥ ، ٥)، وهي النقطة التي هنا: الإحداثي السيني ٥ والصادي ٥.

فالآن، ما هو معدل التغير؟ معدل التغير أن نجيب الفرق في الصادات ونقسم على الفرق في السينات.

ومهم جداً، عشان ما نغلط في الإشارات، أننا نبدأ دائماً من نقطة النهاية. الآن أين نقطة النهاية؟ هي النقطة (٥ ، ٥). نحن بدأنا من النقطة (٣ ، ١) وانتهينا في النقطة (٥ ، ٥). نذهب إلى نقطة النهاية ودائماً نبدأ منها: لأن هذه عندنا س٢ وهذه ص٢، والتي قبلها س١ وص١. نقطة البداية (س١ ، ص١)، ونقطة النهاية (س٢ ، ص٢).

فالمعادلة سهلة: نقول ص٢ − ص١ تقسيم س٢ − س١. سيظهر عندنا (٥ − ١) تقسيم (٥ − ٣)، أي ٤ على ٢ = ٢. معدل التغير الآن يساوي ٢.

لو لاحظنا ما فعلنا: أخذنا الفرق العمودي وقسمناه على الفرق الأفقي. هذه فكرة معدل التغير، فطلع عندنا العدد ٢. وهذا يعني أنه كلما مشينا خطوة إلى اليمين سنزيد ٢. هذا هو معنى معدل التغير = ٢.

مثال واقعي: سعر مشروب

نأخذ مثالاً واقعياً: لو عندنا مشروب معين سعره ريالان، وبعد سنتين صار سعره ٤ ريالات. الآن نفهم أن كل سنة يزيد ريالاً، يعني معدل التغير ١ لكل سنة.

لو رسمنا هذا الكلام على الإحداثي السيني والصادي سيكون عندنا نقطتان. أول شيء عندنا النقطة هنا: عند الصفر كان سعره ريالين. بعدين السنة الأولى، ثم السنة الثانية: عند السنة الثانية صار سعره ٤ ريالات، فإحداثياتها (٢ ، ٤).

فالآن عندنا نقطة النهاية (س٢ ، ص٢) ونقطة البداية (س١ ، ص١). نريد أن نطلع معدل التغير: هو عبارة عن ص٢ − ص١، أي ٤ − ٢، بعدين تقسيم س٢ − س١، أي ٢ − ٠. فنقسم: ٢ ÷ ٢ = ١. معناها معدل التغير = ١، يعني في كل سنة نزيد ١.

هل يكون معدل التغير سالباً

في الحالتين السابقتين كان معدل التغير موجباً، يعني نزيد. فالآن يجي في بال الناس سؤال: هل ممكن يكون معدل التغير سالباً؟ نقول: نعم.

خلونا نفرض نفس المثال: عندنا منتج كان سعره ١٠ ريالات، وبعد سنتين صار سعره ٦ ريالات. الآن واضح أن في كل سنة ينزل ريالين، لكن نبغى نحل هذا المثال على الإحداثي السيني والصادي.

عند الصفر، لما بدأنا، كان سعره ١٠ ريالات، فعندنا إحداثيات النقطة الأولى (٠ ، ١٠): الإحداثي السيني ٠ والصادي ١٠. بعدين نروح للنقطة الثانية التي نعرفها: بعد سنتين صار سعره ٦ ريالات، فهنا يصير الإحداثي السيني ٢ والإحداثي الصادي ٦.

الآن أين س١ وص١، وأين س٢ وص٢؟ زي ما اتفقنا: نقطة النهاية هي (س٢ ، ص٢)، ونقطة البداية هي (س١ ، ص١). عند نقطة البداية هنا (٠ ، ١٠): س١ = ٠ و ص١ = ١٠. نقطة النهاية (٢ ، ٦): س٢ = ٢ و ص٢ = ٦.

الآن بقي أن نعوض في معدل التغير: ص٢ − ص١ تقسيم س٢ − س١، وراح تطلع معنا (٦ − ١٠) تقسيم (٢ − ٠)، راح يطلع معنا −٤ على ٢، أي −٢.

فالآن معدل التغير سالب. ما معناه؟ أن القيمة تنزل. ونلاحظ بالفعل أن السعر ينزل ٢ في كل سنة، يعني معدل التغير سالب.

شكل المستقيم

وآخر شيء نتعلمه: إذا كان معدل التغير سالباً ووصلنا بين النقطتين، راح يطلع معنا مستقيم مائل إلى الأسفل. أما في المثالين السابقين فمعدل التغير كان موجباً، فلو وصلنا بين النقطتين راح يطلع معنا مستقيم مائل إلى الأعلى.

يعني نستنتج: إذا كان معدل التغير موجباً فالمستقيم كلما رحنا إلى اليمين يرتفع، وإذا كان معدل التغير سالباً فالمستقيم الذي يصل بين النقطتين كلما رحنا إلى اليمين ينزل أو ينخفض.