التباديل ببساطة

التباديل هي طريقة لحساب عدد الترتيبات المختلفة عند اختيار مجموعة صغيرة من مجموعة أكبر، مع أهمية الترتيب.

التباديل مهمة جداً في عالم الاحتمالات والإحصاء، وتختلف عن التوافيق في أن الترتيب يؤثر على النتيجة.

1. الفرق بين التباديل والتوافيق

التوافيق (Combinations)

الترتيب غير مهم
{1, 2, 3, 4} = {4, 3, 2, 1}

التباديل (Permutations)

الترتيب مهم جداً
(1, 2, 3, 4) ≠ (4, 3, 2, 1)

2. مثال توضيحي: الأرقام الوظيفية

المسألة: شركة تريد إنشاء أرقام وظيفية مكونة من 4 خانات باستخدام الأرقام 1-9

في الأرقام الوظيفية، الترتيب مهم جداً:

الرقم الوظيفي 1234 يختلف عن 4321
الرقم الوظيفي 1234 يختلف عن 1243
كل تغيير في الترتيب يعطي رقماً وظيفياً مختلفاً

النتيجة: في التباديل تكون النتائج أكثر بكثير من التوافيق لأن الترتيب يؤثر على النتيجة

3. أنواع التباديل

أ) التباديل بدون تكرار

عندما لا يُسمح بتكرار أي رقم في الرقم الوظيفي (مثل عدم قبول 1123 أو 1223).

قانون التباديل بدون تكرار

$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

حيث:
• n = العدد الكلي للعناصر المتاحة (9 في مثالنا)
• r = عدد العناصر المختارة (4 في مثالنا)

تطبيق المثال:

n = 9 (الأرقام من 1 إلى 9)

r = 4 (أربعة خانات)

$P(9,4) = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$

عدد الأرقام الوظيفية الممكنة = 3024

ب) التباديل مع التكرار

عندما يُسمح بتكرار الأرقام (مثل لوحات السيارات التي قد تحتوي على أرقام مكررة مثل 1111 أو 1122).

قانون التباديل مع التكرار

$P_{rep}(n,r) = n^r$

تطبيق المثال مع السماح بالتكرار:

n = 9 (الأرقام من 1 إلى 9)

r = 4 (أربعة خانات)

$P_{rep}(9,4) = 9^4 = 6561$

عدد الأرقام الوظيفية الممكنة = 6561

4. مقارنة النتائج

بدون تكرار

3,024

مع التكرار

6,561

5. تطبيقات عملية للتباديل

كلمات المرور

حساب عدد كلمات المرور الممكنة

ترتيب المسابقات

ترتيب المشاركين في المراكز الأولى

لوحات السيارات

حساب عدد اللوحات المميزة الممكنة

6. أمثلة تطبيقية إضافية

مثال 1: ترتيب 5 أشخاص في صف

عدد الترتيبات الممكنة = $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

مثال 2: اختيار 3 رئساء من مجموعة 10 أشخاص

$P(10,3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$

نقطة مهمة: التباديل تعطي نتائج أكثر من التوافيق لأن الترتيب مهم. استخدم التباديل عندما يكون ترتيب العناصر مؤثراً على النتيجة النهائية.