التوافيق ببساطة

التوافيق هي طريقة لحساب عدد الطرق المختلفة لاختيار مجموعة صغيرة من مجموعة أكبر بدون اعتبار الترتيب.

في التوافيق، المهم هو عدد الاحتمالات لإخراج مجموعة صغيرة وليس ترتيب عناصرها.

1. تعريف التوافيق

التوافيق: اختيار مجموعة صغيرة من مجموعة أكبر بدون ترتيب

الفكرة الأساسية: يهمنا كم احتمال لإخراج مجموعة صغيرة، وما يهمنا ترتيبها.

2. مثال توضيحي: دوري كرة القدم

المسألة:

دوري من 5 منتخبات: السعودية، مصر، الجزائر، العراق، الأردن
كل فريقين يتقابلون مرة واحدة فقط. كم عدد المباريات؟

لماذا نستخدم التوافيق؟

لأن الترتيب غير مهم:

المباراة بين السعودية ومصر = المباراة بين مصر والسعودية
المباراة بين الجزائر والعراق = المباراة بين العراق والجزائر
نحتاج فقط اختيار فريقين من 5، والترتيب لا يهم

الحل اليدوي:

جدول جميع المباريات المحتملة:

1. السعودية × مصر

6. مصر × الأردن

2. السعودية × الجزائر

7. الجزائر × العراق

3. السعودية × العراق

8. الجزائر × الأردن

4. السعودية × الأردن

9. العراق × الأردن

5. مصر × الجزائر

المجموع: 10 مباريات

3. قانون التوافيق

قانون التوافيق

$C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

حيث:
• n = العدد الكلي للعناصر (5 منتخبات في مثالنا)
• r = عدد العناصر المختارة (فريقان في كل مباراة)

تطبيق القانون على المثال:

n = 5 (عدد المنتخبات)

r = 2 (فريقان في كل مباراة)

$C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \times 3!}$

$= \frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!}$

$= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$

عدد المباريات = 10 مباريات ✓

النتيجة: الحل اليدوي والحل بالقانون يعطيان نفس النتيجة: 10 مباريات

4. المقارنة بين التوافيق والتباديل

التوافيق (Combinations)

الترتيب غير مهم
اختيار مجموعة
نتائج أقل
C(5,2) = 10

التباديل (Permutations)

الترتيب مهم
ترتيب العناصر
نتائج أكثر
P(5,2) = 20

5. أمثلة إضافية على التوافيق

مثال 1: اختيار لجنة

اختيار لجنة من 3 أشخاص من مجموعة 8 أشخاص

$C(8,3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

مثال 2: اختيار أسئلة الامتحان

اختيار 5 أسئلة من بنك أسئلة يحتوي على 12 سؤال

$C(12,5) = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5! \times 7!} = 792$

مثال 3: اختيار فريق

اختيار فريق من 11 لاعب من مجموعة 25 لاعب

$C(25,11) = \frac{25!}{11!(25-11)!} = \frac{25!}{11! \times 14!} = 4,457,400$

6. تطبيقات عملية للتوافيق

اللجان والفرق

تشكيل لجان أو فرق عمل من مجموعة أكبر

الألعاب الرياضية

حساب عدد المباريات في الدوريات

الاحتمالات

حساب فضاء العينة في المسائل الاحتمالية

7. متى نستخدم التوافيق؟

استخدم التوافيق عندما تريد اختيار مجموعة من مجموعة أكبر والترتيب غير مهم

أمثلة على استخدام التوافيق:

اختيار أعضاء لجنة
تحديد مواعيد مباريات دوري
اختيار عينة عشوائية من مجموعة
اختيار أسئلة امتحان من بنك أسئلة
تشكيل مجموعات دراسية

نقطة مهمة: التوافيق تعطي فضاء العينة عندما يكون لديك اختيار مجموعة صغيرة من مجموعة أكبر والترتيب غير مهم. هذا يجعل عدد النتائج أقل من التباديل ولكن أكثر دقة للمسائل التي لا يهم فيها الترتيب.