المماسات في الدائرة
المماسات للدائرة
الهندسة التحليلية — Tangent Lines to Circles
الهدف: فهم تعريف المماس وخصائصه وتطبيق نظرياته في إيجاد معادلات المماسات وأطوالها.
تعريف المماس
— المماس: مستقيم يتقاطع مع الدائرة في نقطة واحدة بالضبط تُسمى نقطة التماس.
— المماس عمودي على نصف القطر المرسوم إلى نقطة التماس.
عدد المماسات من نقطة
— داخل الدائرة: لا يوجد مماس. على الدائرة: مماس واحد. خارج الدائرة: مماسان بالضبط.
المماسات المشتركة لدائرتين
— عدد المماسات المشتركة يعتمد على موضع الدائرتين بالنسبة لبعضهما.
القاعدة
— إذا كان المسافة بين المركزين: منفصلتان إذا ، متماستان خارجياً إذا ، متقاطعتان إذا ، متماستان داخلياً إذا .
مثال ١ — معادلة المماس عند نقطة
— المطلوب: معادلة المماس للدائرة عند النقطة .
— ميل نصف القطر :
— ميل المماس (عمودي على ):
— معادلة المماس:
الصيغة المباشرة
— للدائرة عند : معادلة المماس هي .
3x + 4y = 25
مثال ٢ — طول المماس من نقطة خارجية
— المطلوب: طول المماس من النقطة إلى الدائرة .
— المسافة من النقطة إلى المركز:
— بنظرية فيثاغورس في المثلث القائم :
طول المماس = 12
مثال ٣ — عدد المماسات المشتركة
— المطلوب: عدد المماسات المشتركة للدائرتين: مركز ونصف قطر ، ومركز ونصف قطر .
— بما أن : الدائرتان منفصلتان تماماً.
عدد المماسات المشتركة = 4
مثال ٤ — مماس موازٍ لمستقيم
— المطلوب: مماس الدائرة الموازي للمستقيم .
— المركز ، . المماس الموازي له صورة .
— شرط المماسة: المسافة من المركز = نصف القطر:
3x + 4y = 8 | 3x + 4y = 28
مثال ٥ — تطبيق عملي
— برج دائري نصف قطره 50 متراً، شخص يقف على بعد 130 متراً من المركز. ما أقصر مسافة للوصول إلى البرج؟
— أقصر مسافة = طول المماس:
أقصر مسافة = 120 متر
ملخص القواعد
الخلاصة
— المماس: مستقيم يلامس الدائرة في نقطة واحدة، عمودي على نصف القطر عندها.
— طول المماس من نقطة خارجية: حيث المسافة من النقطة إلى المركز.
— معادلة المماس للدائرة عند : هي .
— المماسات المشتركة: عددها ٤ أو ٣ أو ٢ أو ١ أو صفر حسب موضع الدائرتين.
مقدمة الدرس
في هذا الدرس راح نتكلم عن المماسات.
المماس هو مستقيم يلامس الدائرة في نقطة واحدة فقط، وتسمى هذه النقطة نقطة التماس.
خصائص المماس
بناءً على تعريف المماس، فإن للدائرة عددًا لا نهائيًا من المماسات، لأننا نستطيع رسم مماس عند أي نقطة على محيط الدائرة.
إذا رسمنا نصف القطر الواصل إلى نقطة التماس، فإننا نجد أنه يكون دائمًا عموديًا على المماس.
وهذه من أهم نظريات الدائرة.
المماسات المشتركة بين دائرتين
إذا كان لدينا دائرتان منفصلتان، فإنه يمكن رسم أربعة مماسات مشتركة بينهما.
منها مماسان خارجيان، ومماسان داخليان.
عند تلامس الدائرتين
إذا اقتربت الدائرتان حتى أصبحتا متماسّتين خارجيًا، فإن المماسين الداخليين يختفيان، ويبقى فقط مماسان مشتركان.
عند التماس الداخلي
إذا كانت إحدى الدائرتين داخل الأخرى، وكانتا متماسّتين من الداخل، فإنه لا يبقى إلا مماس مشترك واحد.
عند وجود دائرة داخل أخرى
إذا كانت دائرة داخل دائرة أخرى دون أن تتماسّا، فلا يوجد أي مماس مشترك بينهما.
ومع ذلك، يبقى لكل دائرة مماساتها الخاصة، لكن لا يوجد مماس واحد يلامس الدائرتين في الوقت نفسه.
عن هذا الدرس
مماس الدائرة: مستقيم يمس الدائرة في نقطة واحدة (نقطة التماس)، ويكون عموديًا على نصف القطر عندها؛ من نقطة خارجية مماسان متساويان طولهما √(d² − r²)، وعدد… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.