الانعكاس حول المحور x والمحور y للدوال: −f(x) و f(−x) مع أمثلة

الانعكاس حول المحاور

الانعكاسات حول المحاور تكون حول المحور x أو حول المحور y.

الانعكاس حول المحور x

نبدأ في الانعكاس حول المحور x. المقصود فيه أن أي شيء فوق المحور x ينطوي ويصير تحت، وأي شيء تحت ينطوي ويصير فوق.

فبالنسبة للدالة x³: الجزء اللي أعلى هنا يصير تحت، والجزء اللي أسفل هنا ينطوي ويصير فوق.

لو أخذنا الدالة y = x: الجزء اللي هنا يمين ننزله تحت، والجزء اللي يسار، اللي تحت محور x، نرفعه إلى الأعلى. فهذا هو المقصود بالانعكاس حول المحور x.

الانعكاس حول المحور x بالمعادلات

بالمعادلات كيف نحصل على الانعكاس؟ نحط سالب على كامل معادلة الدالة.

فبالنسبة للدالة x³ نحط قدامها سالب، وبالنسبة للدالة f(x) = x نحط قدامها سالب، فتطلع عندنا انعكاسها حول محور x. وعلامة السالب تكون على كامل معادلة الدالة.

مثال: x³ + 2

فلو عندنا الدالة x³ + 2، فنحن نعرف أن الدالة هذه عبارة عن الدالة التكعيبية مسوّين لها انسحاباً رأسياً إلى الأعلى بخطوتين أو وحدتين، فرسمتها راح تكون كذا.

كيف نسوي الانعكاس على محور x؟ نحط سالب على كامل المعادلة: السالب راح تكون على x³، والموجب 2 أيضاً نضربها بالسالب وتصير −2. فهذه معادلة الدالة الناتجة من الانعكاس حول محور x: ‎−x³ − 2.

مثال: x − 3

ولو أخذنا دالة ثانية مثلاً x − 3، فهي عبارة عن الدالة الأم x مسوّين لها انسحاباً رأسياً إلى الأسفل بثلاث وحدات.

كيف نسوي الانعكاس حول محور x؟ نضرب كامل المعادلة بسالب 1 أو بإشارة سالب، فتطلع عندنا ‎−x + 3. وهذه رسمتها، ونشوف أنها انعكاس للدالة حول محور x، المحور الأفقي.

الانعكاس حول المحور y

الآن كيف نسوي الانعكاس حول المحور العمودي اللي هو محور y؟ نرجع الآن إلى موضوع الاستبدال: كل x نستبدلها بـ ‎−x.

فلو رجعنا إلى المثالين الأخيرين: قلنا x − 3 وهذه رسمتها. كيف نسوي الانعكاس حول محور y؟ نستبدل x بـ ‎−x فتطلع ‎−x − 3. فقط نبحث عن x، أما الحدود اللي ما فيها x نخليها زي ما هي.

لو رحنا إلى الدالة x³ + 2: نستبدل x بـ ‎−x فتطلع ‎−x³ + 2، وهي عبارة عن الانعكاس للدالة هذه حول محور y، حول المحور العمودي.

الدوال الزوجية لا يغيّرها الانعكاس حول y

لو أخذنا الدالة x²، فنستبدل x بـ ‎−x، ولكن التربيع راح يلغي عندنا السالب فراح تصير هي نفسها. وبالفعل لو طويناها حول محور y نلقاها تتطابق. نستنتج أن الدوال الزوجية انعكاسها حول محور y ما راح يغير فيها شيء.

أما لو أخذنا نفس الدالة x² وبنسوي لها انعكاساً حول المحور الأفقي اللي هو محور x، فنضيف علامة سالب على كامل معادلة الدالة فتصير ‎−x²، وراح تنتج عنها الدالة التربيعية مقلوبة، كأننا طوينا المستوى حول محور x عشان تتطابق مع الرسمة اللي تحت.

دالة زوجية ثانية: القيمة المطلقة

نشوف دالة زوجية ثانية نسوي عليها انعكاساً حول محور y، اللي قلنا ما راح يغير فيها شيء: دالة القيمة المطلقة. فدالة القيمة المطلقة لـ x هذه رسمتها. لو استبدلنا x بـ ‎−x، القيمة المطلقة راح تلغي الإشارة السالبة وراح تبقى الدالة زي ما هي. وبالفعل انعكاسها هو نفسها: لو طوينا المستوى حول المحور العمودي y راح تنتج عندنا نفس الدالة.