إيجاد الدالة العكسية

القاعدة

f(f^{-1}(x)) = x

الخطوات

بدّل x وy ← حلّ لـ y

التماثل

مجال f = مدى f⁻¹

١خطوات إيجاد الدالة العكسية

خطوة ١تأكد أن الدالة تجتاز اختبار الخط الأفقي (One-to-One)

خطوة ٢استبدل f(x) بـ y ثم بدّل x وy مع بعض

خطوة ٣حلّ المعادلة بالنسبة لـ y — هذا هو f⁻¹(x)

خطوة ٤حدّد مجال ومدى الدالة العكسية

— مجال f⁻¹ = مدى f — مدى f⁻¹ = مجال f.
— إذا كانت النقطة (a, b) على f فإن (b, a) على f⁻¹.

٢مثال ١ — دالة خطية بسيطة

f(x) = x + 5

الاختباردالة خطية — تجتاز اختبار الخط الأفقي ✓

نكتب

y = x + 5

نبدّل

x = y + 5

نحلّ

y = x - 5

f^{-1}(x) = x - 5

المجال والمدى: ℝ

٣مثال ٢ — دالة خطية بمعامل

f(x) = 2x

نكتب

y = 2x

نبدّل

x = 2y

نحلّ

y = \dfrac{x}{2}

f^{-1}(x) = \dfrac{x}{2}

المجال والمدى: ℝ

— f⁻¹ تعني الدالة العكسية وليست 1/f(x) — فرق جوهري.

٤مثال ٣ — دالة كسرية

f(x) = \frac{x+7}{x}

نبدّل

x = \frac{y+7}{y} = 1 + \frac{7}{y}

نطرح ١

x - 1 = \frac{7}{y}

نحلّ

y = \frac{7}{x-1}

f^{-1}(x) = \dfrac{7}{x-1}

مجال f

\mathbb{R} \setminus \{0\}

مدى f

\mathbb{R} \setminus \{1\}

مجال f⁻¹

\mathbb{R} \setminus \{1\}

مدى f⁻¹

\mathbb{R} \setminus \{0\}

٥رسم بياني تفاعلي — f وf⁻¹

اختر دالة لترى منحناها وعكسيتها وخط التماثل:

f(x)

f^{-1}(x)

y = x

٦تمارين محلولة

تمرين ١:

f(x) = 3x - 2

نبدّل

x = 3y - 2

نحلّ

f^{-1}(x) = \frac{x+2}{3}

f^{-1}(x) = \frac{x+2}{3}

المجال والمدى: ℝ

تمرين ٢:

f(x) = x^3

نبدّل

x = y^3

نحلّ

f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}

f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}

المجال والمدى: ℝ

تمرين ٣ — كسرية:

f(x) = \frac{2x+1}{x-3}

ضرب تقاطعي

x(y-3) = 2y+1

نجمع y

y(x-2) = 3x+1

نحلّ

f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2}

f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2}

المجال: ℝ − {2}

تمرين ٤ — جذرية:

f(x) = \sqrt{x-4}

نبدّل

x = \sqrt{y-4}

نربّع

x^2 = y - 4

نحلّ

f^{-1}(x) = x^2 + 4 \quad (x \geq 0)

f^{-1}(x) = x^2 + 4 \quad (x \geq 0)

المجال: [0, ∞)

٧رسم التمارين — اختر وتحقق

اختر تمريناً لترى رسمه:

f(x)

f^{-1}(x)

y = x

∑جدول ملخص

الدالة $f(x)$	العكسية $f^{-1}(x)$	قيد
$x + 5$	$x - 5$	—
$3x - 2$	$\dfrac{x+2}{3}$	—
$x^3$	$\sqrt[3]{x}$	—
$\dfrac{2x+1}{x-3}$	$\dfrac{3x+1}{x-2}$	$x \neq 2$
$\sqrt{x-4}$	$x^2 + 4$	$x \geq 0$

✓الخلاصة

— الخطوة الأساسية: بدّل x وy ثم حلّ المعادلة بالنسبة لـ y.

— المجال والمدى: يتبادلان بين f وf⁻¹ دائماً.

— الدوال الكسرية: الضرب التقاطعي يُبسّط الحلّ.

— الدوال الجذرية: التربيع ضروري مع الانتباه لقيد المجال.

خطوات إيجاد الدالة العكسية مع أمثلة

الشرح

إيجاد الدالة العكسية