متطابقة فيثاغورس المثلثية cos²θ + sin²θ = 1: لماذا مجموع مربعي الجيب وجيب التمام يساوي 1 دائما
المتطابقة وسؤال الدرس
من المتطابقات المثلثية: كوساين تربيع زائد ساين تربيع يساوي واحد. فكيف نتذكر هذه المتطابقة؟
مثلث وتره يساوي واحد
خلونا ناخذ مثلثًا قائمًا وتره يساوي واحد. الكوساين يساوي المجاور على الوتر، لكن الوتر يساوي واحد، معناتها الكوساين يساوي المجاور. والساين يساوي المقابل على الوتر، ولكن الوتر يساوي واحد، معناتها الساين يساوي المقابل.
فالآن الضلع المجاور هنا هو عبارة عن الكوساين، والضلع المقابل هو الساين.
المربعات على الأضلاع
وأي ضلع لما نربعه فإننا نحصل على مساحة المربع المرسوم عليه. فلو ربعنا الكوساين يطلع لنا مربع زي كذا، ولو ربعنا الساين يطلع لنا المربع هنا، ولو ربعنا الوتر يطلع المربع هنا.
تحريك الزاوية θ
فالآن أضفنا سلايدر هنا يعدل لنا قيمة الثيتا، يرفعها وينزلها. فكلما رفعنا من قيمة الثيتا يزيد المقابل، فيزيد معه مساحة الساين تربيع، المربع هنا، ويصغر المربع اللي تحت، بحيث إن مجموعهم يساوي واحد. ومساحة المربع تبع الوتر دائمًا تساوي واحد.
فلما نرفع ثيتا، مربع الساين يكبر ومربع الكوساين يصغر. ولما نصغر الثيتا، مربع الكوساين يكبر ومربع الساين يصغر.
حالة الزاوية الصغيرة جدًا
فلو صغرنا ثيتا بشكل مبالغ فيه، لدرجة إن طول الكوساين صار قريبًا جدًا من طول الوتر، فنلاحظ إن المربعين هنا تقريبًا تطابقا، ومربع الساين شبه اختفى.
الخلاصة
فهذا يذكرنا بشكل تصوري بهذه المتطابقة: كوساين تربيع زائد ساين تربيع دائمًا تساوي واحد.
عن هذا الدرس
نفهم متطابقة فيثاغورس المثلثية cos²θ + sin²θ = 1 بالرسم لا بالحفظ: مثلث قائم وتره 1 فيكون cos θ هو الضلع المجاور وsin θ هو الضلع المقابل، ونرسم على كل ضلع… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.