معدل التغيير و التفاضل و الاشتقاق
أهداف الدرس
- فهم مفهوم متوسط معدل التغير
- حساب متوسط معدل التغير بين نقطتين
- فهم الانتقال من معدل التغير المتوسط إلى اللحظي
- إدراك العلاقة بين معدل التغير والتفاضل
ما هو معدل التغير؟
معدل التغير يقيس كيف تتغير الدالة عندما تتغير قيمة المتغير المستقل.
الفكرة الأساسية:
- متوسط معدل التغير: كيف تتغير الدالة في المتوسط بين نقطتين
- معدل التغير اللحظي: كيف تتغير الدالة عند نقطة واحدة محددة
متوسط معدل التغير بين x₁ و x₂:
استكشاف تفاعلي: من المتوسط إلى اللحظي
شاهد كيف يتحول معدل التغير المتوسط إلى معدل التغير اللحظي
متوسط معدل التغير
استكشف كيف يتغير معدل التغير المتوسط بين نقطتين على الدالة:
متوسط معدل التغير بين نقطتين
من المتوسط إلى اللحظي
إيجاد القمم والقيعان
فهم العلاقة: معدل التغير والمشتقة
| معدل التغير | سلوك الدالة | المعنى |
|---|---|---|
| موجب | تصاعدية | الدالة تزداد |
| سالب | تنازلية | الدالة تتناقص |
| صفر | قمة أو قاع | نقطة حرجة |
القاعدة المهمة: المشتقة ونقاط القمة والقاع
عندما تكون المشتقة (معدل التغير اللحظي) = صفر:
• فإننا عند قمة أو قاع أو نقطة انقلاب
• لإيجاد القمم والقيعان: نحسب المشتقة ونجعلها تساوي صفر
نحسب
نحسب
متوسط معدل التغير =
التفسير: الدالة تزداد بمعدل 2 وحدة لكل وحدة في x بين 0 و 1.
التفسير: هذه المشتقة تعطينا معدل التغير اللحظي عند أي نقطة x.
نضع المشتقة = 0
عند : (قمة محلية)
عند : (قاع محلي)
التفسير: الدالة لها قمة عند (1, 2) وقاع عند (-1, -2).
نستخدم المشتقة:
عند :
التفسير: معدل التغير اللحظي = 0 يعني أننا عند قمة محلية.
متوسط معدل التغير
في هذا الدرس سنتعرف على **متوسط معدل التغير**، وهو من أهم المفاهيم في الرياضيات لأنه يمثل المدخل الأساسي لفهم **التفاضل** ومعدل التغير اللحظي.
ومتوسط معدل التغير يصف لنا كيف تغيرت قيمة الدالة بين نقطتين محددتين على الرسم البياني.
ما هو متوسط معدل التغير؟
عند اختيار نقطتين على الدالة لهما الإحداثيان <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x_1" data-tex="x_1" style="display:inline-block;vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1008.6 592" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></svg></span> و <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x_2" data-tex="x_2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1008.6 592" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></svg></span>، فإن متوسط معدل التغير يقيس مقدار تغير قيمة الدالة بين هاتين النقطتين مقارنةً بمقدار تغير قيمة المتغير المستقل.
وبعبارة أبسط، فهو يجيب عن السؤال:
**كيف تغيرت الدالة عند الانتقال من <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x_1" data-tex="x_1" style="display:inline-block;vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1008.6 592" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></svg></span> إلى <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x_2" data-tex="x_2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1008.6 592" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></svg></span>؟**
ويحسب باستخدام العلاقة:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}" data-tex="\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.891ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.334ex" height="5.195ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1460 6335.6 2296" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,710)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(939,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1947.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2558.8,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3559,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4109,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(4498,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5506.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(1548,-686)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1230.8,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2231,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g><rect width="6095.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
تفسير القانون
لحساب متوسط معدل التغير:
- نحسب قيمة الدالة عند <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x_2" data-tex="x_2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1008.6 592" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></svg></span>. - نحسب قيمة الدالة عند <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x_1" data-tex="x_1" style="display:inline-block;vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1008.6 592" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></svg></span>. - نطرح القيمتين. - ثم نقسم الناتج على الفرق بين <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x_2" data-tex="x_2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1008.6 592" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></svg></span> و <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x_1" data-tex="x_1" style="display:inline-block;vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1008.6 592" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></svg></span>.
ويعبر الناتج عن **ميل المستقيم القاطع** الذي يصل بين النقطتين على الرسم البياني.
ماذا تعني إشارة الناتج؟
إذا كانت قيمة الدالة عند <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x_2" data-tex="x_2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1008.6 592" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></svg></span> أكبر من قيمتها عند <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x_1" data-tex="x_1" style="display:inline-block;vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1008.6 592" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></svg></span>، فإن متوسط معدل التغير يكون **موجبًا**، وهذا يعني أن الدالة في حالة ازدياد.
أما إذا كانت قيمة الدالة عند <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x_2" data-tex="x_2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1008.6 592" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></svg></span> أقل من قيمتها عند <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x_1" data-tex="x_1" style="display:inline-block;vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1008.6 592" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></svg></span>، فإن الناتج يكون **سالبًا**، وهذا يدل على أن الدالة تتناقص في تلك الفترة.
أما إذا كان الناتج يساوي صفرًا، فهذا يعني أن قيمة الدالة لم تتغير بين النقطتين.
مثال على متوسط معدل التغير
إذا طُلب إيجاد متوسط معدل التغير لدالة على الفترة من <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="0" data-tex="0" style="display:inline-block;vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></span> إلى <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="1" data-tex="1" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></span>، فإننا نحسب قيمة الدالة عند النقطتين أولًا، ثم نعوض في قانون متوسط معدل التغير.
ويمثل الناتج ميل المستقيم القاطع بين النقطتين، وهو الذي يوضح مقدار تغير الدالة خلال تلك الفترة.
العلاقة بين متوسط معدل التغير والتفاضل
حتى هذه المرحلة نحن نتحدث عن **متوسط** معدل التغير، أي التغير بين نقطتين مختلفتين.
أما في التفاضل فنريد معرفة **معدل التغير اللحظي** عند نقطة واحدة فقط.
ولذلك نبدأ بتقريب النقطتين من بعضهما شيئًا فشيئًا، حتى تصبح المسافة بينهما صغيرة جدًا وتقترب من الصفر.
وعندها يتحول المستقيم القاطع إلى **مستقيم مماس** للدالة، ويصبح ميله هو **المشتقة** أو **معدل التغير اللحظي**.
ماذا يحدث عند القمم والقيعان؟
إذا اقتربت النقطتان من قمة المنحنى أو قاعه، فإن ميل المستقيم المماس يبدأ بالاقتراب من الصفر.
وعند القمة أو القاع يكون المستقيم المماس أفقيًا، ولذلك يكون ميله مساويًا للصفر.
ومن هنا تأتي واحدة من أهم قواعد التفاضل.
قاعدة مهمة في التفاضل
إذا كانت مشتقة الدالة تساوي صفرًا عند نقطة معينة، فإن هذه النقطة تكون مرشحة لأن تكون:
- قيمة عظمى (قمة). - أو قيمة صغرى (قاع).
ولهذا السبب نستخدم المشتقة لإيجاد القيم العظمى والصغرى للدوال، وهو موضوع سيتم دراسته بالتفصيل في دروس التفاضل.
ملخص الدرس
- متوسط معدل التغير يقيس تغير الدالة بين نقطتين. - يمثل ميل المستقيم القاطع الواصل بين النقطتين. - إذا كان الناتج موجبًا فالدالة متزايدة، وإذا كان سالبًا فالدالة متناقصة. - عند تقارب النقطتين يتحول متوسط معدل التغير إلى معدل تغير لحظي، وهو المشتقة. - عند القمم والقيعان يكون ميل المماس مساويًا للصفر، ولذلك تكون مشتقة الدالة عند هذه النقاط تساوي صفرًا.
عن هذا الدرس
معدل التغير: قانون متوسط معدل التغير للدالة في فترة [ ] = [f(b) − f(a)] ÷ (b − a) وهو ميل القاطع، ومعدل التغير اللحظي عند نقطة وهو ميل المماس (المشتقة)،… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.