معدل التغيير و التفاضل و الاشتقاق

متوسط معدل التغير

في هذا الدرس سنتعرف على **متوسط معدل التغير**، وهو من أهم المفاهيم في الرياضيات لأنه يمثل المدخل الأساسي لفهم **التفاضل** ومعدل التغير اللحظي.

ومتوسط معدل التغير يصف لنا كيف تغيرت قيمة الدالة بين نقطتين محددتين على الرسم البياني.

ما هو متوسط معدل التغير؟

عند اختيار نقطتين على الدالة لهما الإحداثيان \(x_1\) و \(x_2\)، فإن متوسط معدل التغير يقيس مقدار تغير قيمة الدالة بين هاتين النقطتين مقارنةً بمقدار تغير قيمة المتغير المستقل.

وبعبارة أبسط، فهو يجيب عن السؤال:

**كيف تغيرت الدالة عند الانتقال من \(x_1\) إلى \(x_2\)؟**

ويحسب باستخدام العلاقة:

\[ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \]

تفسير القانون

لحساب متوسط معدل التغير:

- نحسب قيمة الدالة عند \(x_2\). - نحسب قيمة الدالة عند \(x_1\). - نطرح القيمتين. - ثم نقسم الناتج على الفرق بين \(x_2\) و \(x_1\).

ويعبر الناتج عن **ميل المستقيم القاطع** الذي يصل بين النقطتين على الرسم البياني.

ماذا تعني إشارة الناتج؟

إذا كانت قيمة الدالة عند \(x_2\) أكبر من قيمتها عند \(x_1\)، فإن متوسط معدل التغير يكون **موجبًا**، وهذا يعني أن الدالة في حالة ازدياد.

أما إذا كانت قيمة الدالة عند \(x_2\) أقل من قيمتها عند \(x_1\)، فإن الناتج يكون **سالبًا**، وهذا يدل على أن الدالة تتناقص في تلك الفترة.

أما إذا كان الناتج يساوي صفرًا، فهذا يعني أن قيمة الدالة لم تتغير بين النقطتين.

مثال على متوسط معدل التغير

إذا طُلب إيجاد متوسط معدل التغير لدالة على الفترة من \(0\) إلى \(1\)، فإننا نحسب قيمة الدالة عند النقطتين أولًا، ثم نعوض في قانون متوسط معدل التغير.

ويمثل الناتج ميل المستقيم القاطع بين النقطتين، وهو الذي يوضح مقدار تغير الدالة خلال تلك الفترة.

العلاقة بين متوسط معدل التغير والتفاضل

حتى هذه المرحلة نحن نتحدث عن **متوسط** معدل التغير، أي التغير بين نقطتين مختلفتين.

أما في التفاضل فنريد معرفة **معدل التغير اللحظي** عند نقطة واحدة فقط.

ولذلك نبدأ بتقريب النقطتين من بعضهما شيئًا فشيئًا، حتى تصبح المسافة بينهما صغيرة جدًا وتقترب من الصفر.

وعندها يتحول المستقيم القاطع إلى **مستقيم مماس** للدالة، ويصبح ميله هو **المشتقة** أو **معدل التغير اللحظي**.

ماذا يحدث عند القمم والقيعان؟

إذا اقتربت النقطتان من قمة المنحنى أو قاعه، فإن ميل المستقيم المماس يبدأ بالاقتراب من الصفر.

وعند القمة أو القاع يكون المستقيم المماس أفقيًا، ولذلك يكون ميله مساويًا للصفر.

ومن هنا تأتي واحدة من أهم قواعد التفاضل.

قاعدة مهمة في التفاضل

إذا كانت مشتقة الدالة تساوي صفرًا عند نقطة معينة، فإن هذه النقطة تكون مرشحة لأن تكون:

- قيمة عظمى (قمة). - أو قيمة صغرى (قاع).

ولهذا السبب نستخدم المشتقة لإيجاد القيم العظمى والصغرى للدوال، وهو موضوع سيتم دراسته بالتفصيل في دروس التفاضل.

ملخص الدرس

- متوسط معدل التغير يقيس تغير الدالة بين نقطتين. - يمثل ميل المستقيم القاطع الواصل بين النقطتين. - إذا كان الناتج موجبًا فالدالة متزايدة، وإذا كان سالبًا فالدالة متناقصة. - عند تقارب النقطتين يتحول متوسط معدل التغير إلى معدل تغير لحظي، وهو المشتقة. - عند القمم والقيعان يكون ميل المماس مساويًا للصفر، ولذلك تكون مشتقة الدالة عند هذه النقاط تساوي صفرًا.