المثلثات المتشابهة والدوال المثلثية

الرياضيات — الهندسة وعلم المثلثات

الهدف: فهم التشابه بين المثلثات وربطه بالدوال المثلثية الأساسية.

التشابه

نفس الزوايا — نسبة ثابتة بين الأضلاع

الدوال

sin, cos, tan

التطبيق

إيجاد الأطوال والزوايا المجهولة

المثلثات المتشابهة

— مثلثان متشابهان إذا كانت زواياهما المتناظرة متساوية وأضلاعهما المتناظرة متناسبة.

— النسبة الثابتة بين الأضلاع تُسمى نسبة التشابه k.

\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = k

نسبة المساحتين:

\frac{S_1}{S_2} = k^2

ملاحظة

— المساحة تتناسب مع مربع نسبة التشابه، لأن البُعدين كليهما يُضرَبان في k.

طرق إثبات التشابه

— AAA: ثلاث زوايا متساوية (يكفي زاويتان لأن الثالثة تلزم).

— SAS: نسبة ضلعين متساوية والزاوية المحصورة بينهما متساوية.

— SSS: الأضلاع الثلاثة متناسبة بنسبة ثابتة.

\text{SSS:} \quad \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}

استكشاف التشابه

الدوال المثلثية الأساسية

— نسب الأضلاع في المثلث القائم الزاوية تبقى ثابتة لنفس الزاوية — هذه هي الدوال المثلثية.

\sin\theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} \qquad \cos\theta = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} \qquad \tan\theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}}

علاقة مهمة

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \qquad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

مثال ١ — إيجاد ارتفاع مبنى

— شخص طوله 1.8 م، ظله 3 م وظل المبنى 40 م. أوجد ارتفاع المبنى.

— نستخدم التشابه بين المثلثَين:

\frac{1.8}{3} = \frac{h}{40}

h = \frac{1.8 \times 40}{3} = 24 \text{ م}

ارتفاع المبنى = 24 م

مثال ٢ — استخدام الدوال المثلثية

— سلم طوله 10 م يميل على حائط بزاوية 60°. أوجد ارتفاع نقطة تلامسه مع الحائط.

\sin 60° = \frac{h}{10}

h = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \text{ م}

الارتفاع = 5√3 ≈ 8.66 م

قيم الزوايا الأساسية

الدالة	0°	30°	45°	60°	90°
sin	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
cos	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
tan	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\infty$

خطوات حل المسائل

— الخطوة ١: ارسم المثلث وحدد المعطيات والمطلوب.

— الخطوة ٢: حدد نوع المسألة (تشابه أم دوال مثلثية).

— الخطوة ٣: اختر القانون المناسب واعزل المجهول.

— الخطوة ٤: احسب النتيجة وتحقق من منطقيتها.

ملاحظة

— الدوال المثلثية للمثلث القائم. للمثلثات غير القائمة استخدم قانون الجيب أو قانون جيب التمام.

ملخص

المفهوم	القاعدة
التشابه	نفس الزوايا + نسبة ثابتة k بين الأضلاع
sin θ	المقابل ÷ الوتر
cos θ	المجاور ÷ الوتر
tan θ	المقابل ÷ المجاور
هوية فيثاغورس	sin²θ + cos²θ = 1

الخلاصة

— التشابه: المثلثات المتشابهة تتشارك نفس الزوايا وأضلاعها متناسبة بنسبة k.

— الدوال المثلثية: نشأت مباشرةً من ثبات النسب في المثلثات المتشابهة.

— sin: مقابل/وتر — cos: مجاور/وتر — tan: مقابل/مجاور.

— احفظ قيم 30° و45° و60° — هي الأكثر استخداماً في المسائل.

المثلثات المتشابهة

اختبر فهمك

الشرح

المثلثات المتشابهة والدوال المثلثية

المثلثات المتشابهة

طرق إثبات التشابه

استكشاف التشابه

الدوال المثلثية الأساسية

مثال ١ — إيجاد ارتفاع مبنى

مثال ٢ — استخدام الدوال المثلثية

قيم الزوايا الأساسية

خطوات حل المسائل

ملخص

الخلاصة