العمليات على كثيرات الحدود

العمليات على كثيرات الحدود

الجبر — الفصل الثالث

الهدف: تطبيق قوانين الأسس لضرب وقسمة وتبسيط كثيرات الحدود.

ضرب القوى
x^a · x^b = x^(a+b)
قسمة القوى
x^a / x^b = x^(a−b)
الأس السالب
x^(−a) = 1/x^a
١

ضرب القوى — نفس الأساس

— عند ضرب قوتين لهما نفس الأساس، نجمع الأسس:

x^a \cdot x^b = x^{a+b}

أمثلة

— مثال ١:

3^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6

— مثال ٢:

p^2 \cdot p^9 = p^{11}
٢

قسمة القوى — نفس الأساس

— عند قسمة قوتين لهما نفس الأساس، نطرح الأسس:

— الشرط:

x \neq 0
\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}

أمثلة

— مثال ١:

\frac{9^6}{9^3} = 9^{6-3} = 9^3

— مثال ٢:

\frac{b^6}{b^4} = b^2
٣

الأس السالب

— الأس السالب يعني مقلوب القوة الموجبة:

— الشرط:

x \neq 0
x^{-a} = \frac{1}{x^a}

أمثلة

3^{-8} = \frac{1}{3^8}
b^{-7} = \frac{1}{b^7}
٤

قوة القوة — قوة الضرب — قوة القسمة

— قوة القوة: نضرب الأسس:

(x^a)^b = x^{ab}

— مثال:

(3^3)^3 = 3^9
(d^3)^4 = d^{12}

— قوة ناتج الضرب: نوزع الأس على كل عامل:

(xy)^a = x^a y^a

— مثال:

(2k)^4 = 2^4 k^4 = 16k^4
(ab)^3 = a^3 b^3

— قوة ناتج القسمة: نوزع الأس على البسط والمقام:

\left(\frac{x}{y}\right)^a = \frac{x^a}{y^a}

— مثال:

\left(\frac{x}{y}\right)^2 = \frac{x^2}{y^2}
\left(\frac{a}{b}\right)^{-5} = \frac{b^5}{a^5}

— القوة الصفرية: أي عدد مرفوع للأس صفر يساوي 1:

x^0 = 1 \quad (x \neq 0)

— مثال:

7^0 = 1
٥

تبسيط العبارات — أمثلة

مثال ١ — أ:

(2a^{-2})(3a^3b^2)(c^{-2})

— نجمع المعاملات أولاً:

= 6ab^2 \cdot \frac{1}{c^2}
= \frac{6ab^2}{c^2}

مثال ١ — ب:

\frac{q^5 r^4}{q^7 r^3}

— قسمة القوى (نطرح الأسس):

= q^{5-7} \cdot r^{4-3}
= q^{-2} r
= \frac{r}{q^2}

مثال ١ — ج:

\left(\frac{-2a^4}{b^2}\right)^3

— نوزع الأس 3 على كل عنصر:

= \frac{(-2)^3 (a^4)^3}{(b^2)^3}
= \frac{-8a^{12}}{b^6}

تحقق من فهمك

— بسّط كل عبارة:

(2x^{-3}y^3)(-7x^5y^6)
\frac{15x^4y^7}{-3y}
\left(\frac{1}{4}\right)^{-3}
(-2x^3y^2)^5

ملخص قوانين الأسس

القانون الصيغة مثال
ضرب القوى x^a · x^b = x^(a+b) p² · p⁹ = p¹¹
قسمة القوى x^a / x^b = x^(a−b) b⁶/b⁴ = b²
الأس السالب x^(−a) = 1/x^a 3^(−8) = 1/3⁸
قوة القوة (x^a)^b = x^(ab) (d³)⁴ = d¹²
قوة الضرب (xy)^a = x^a · y^a (2k)⁴ = 16k⁴
قوة القسمة (x/y)^a = x^a/y^a (a/b)^(−5) = b⁵/a⁵
القوة الصفرية x^0 = 1 7^0 = 1

الخلاصة

— ضرب القوى: نفس الأساس → نجمع الأسس: x^a \cdot x^b = x^{a+b}

— قسمة القوى: نفس الأساس → نطرح الأسس: \dfrac{x^a}{x^b} = x^{a-b}

— الأس السالب: ينقل العبارة للمقام: x^{-a} = \dfrac{1}{x^a}

— قوة القوة: نضرب الأسس: (x^a)^b = x^{ab}

— قوة الضرب والقسمة: نوزع الأس على كل عنصر.

— القوة الصفرية: x^0 = 1 لأي x \neq 0.

الدرس السابق
0
الدرس التالي
ثاني ثانوي الفصل الأول
جاري تحميل التعليقات...

دروس ذات صلة

قسمة كثيرات الحدود

الثانوية

دوال كثيرات الحدود

الثانوية

حل معادلات كثيرات الحدود

الثانوية

الأعداد المركبة

الثانوية

تمثيل الأعداد المركبة في الإحداثيات الديكارتية والقطبية

الثانوية